Question

Найти дифференциал dy функции, если y=5xcos(x)-sin(x)

Answer 1

Производная данной функции:

$y'=(5x\cos x-\sin x)'=5\cos x-5x\sin x-\cos x=4\cos x-5x\sin x$

Зная, что $y'=\dfrac{dy}{dx}$(из определения), дифференциал функции:

$dy=(4\cos x-5x\sin x)dx$

P.S. При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования:

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
(a)' = 0, где а - const
(uv)' = u'v + uv'

Answer 2

Для нахождения дифференциала функции y = 5x*cos(x) - sin(x) нужно продифференцировать данное выражение по переменной x. Дифференциал функции dy будет равен производной функции y по x, умноженной на дифференциал переменной dx:

dy = (d/dx)(5x*cos(x) - sin(x)) * dx

Для вычисления производной (d/dx) используем правила дифференцирования:

1. Производная постоянного множителя: d/dx (C) = 0 (где C - константа).
2. Производная произведения функций: d/dx (uv) = u'v + uv', где u' и v' - производные функций u(x) и v(x) соответственно.
3. Производная функции cos(x): d/dx (cos(x)) = -sin(x).
4. Производная функции sin(x): d/dx (sin(x)) = cos(x).

Применим эти правила:

dy = (d/dx)(5x*cos(x) - sin(x)) * dx dy = (5 * d/dx(x) * cos(x) + 5x * d/dx(cos(x))) - d/dx(sin(x)) * dx dy = (5 * 1 * cos(x) + 5x * (-sin(x))) - cos(x) * dx dy = (5cos(x) - 5xsin(x)) - cos(x) * dx dy = 5cos(x) - 5xsin(x) - cos(x) * dx

Таким образом, дифференциал функции dy равен выражению 5cos(x) - 5xsin(x) - cos(x) * dx.