Question

Lim (x->3) ((6-x)/3)^(tg(pi*x/6)= пожалуйста с подробным решением

Answer 1

Поехали
с вашего позволения в решении сокращу lim(x->3) до lim, т.к. других пределов у нас нет и не предвидится

для начала распишем
lim(3^(-tg(pi*x/6))*(6-x)^tg(pi*x/6))

логарифмируем
lim(exp(ln(6-x)*tg(pi*x/6)-ln(3)*tg(pi*x/6)))=
exp(lim(ln(6-x)*tg(pi*x/6)-ln(3)*tg(pi*x/6)))

вынесем ln(6-x) и вычислим для него предел
exp(ln(3)*(tg(pi*x/6)-ln(3)*tg(pi*x/6)/ln(6-x)))

приведем дробь к общему знаменателю и вычислим предел в знаменателе
exp(ln(3)/ln(3)*lim(tg(pi*x/6)*(ln(6-x)-ln(3)))

небольшое отступление lim(x->3)(tg(pi*x/6)) =
lim(sin(pi*x/6)/lim(cos(pi*x/6)) = 1/lim(cos(pi*x/6))

подстановка
exp(lim(ln(6-x)-ln(3)/cos(pi*x/6)))

неопределённость типа 0/0 раскроем по теореме Лопиталя предел отношения этих функций (логарифма и косинуса) будут равны пределу отношения их производных

d/dx(ln(6-x/3))=-1/(ln(e)*(6-x))=-1/(6-x)
d/dx(cos(pi*x/6))=-pi/6*sin(pi*x/6)=-pi/6

exp(lim( (-1/(6-x))/(-pi/6))) = exp(lim(6/((x-6)*pi)))

избавляемся от предела
exp(6/3pi)=exp(2/pi)
ну или более привычная запись
${e}^{ \frac{2}{\pi} }$

Answer 2

Для решения данного предела, мы можем использовать алгебраические свойства пределов и тригонометрические тождества. Давайте начнем:

Лимит: lim(x->3) ((6-x)/3)^(tan(pi*x/6))

Сначала заметим, что предел имеет вид 1^∞, что является неопределенным выражением. Чтобы решить его, применим логарифмический прием и переведем задачу в более удобную форму:

1. Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон выражения: ln[lim(x->3) ((6-x)/3)^(tan(pix/6))] = ln[lim(x->3) ((6-x)/3)^(tan(pix/6))]

2. Применим свойство логарифма, перенося показатель под логарифм: ln[lim(x->3) ((6-x)/3)^(tan(pix/6))] = lim(x->3) [ln((6-x)/3)^(tan(pix/6))]

3. Применим свойство степени для логарифма: ln[lim(x->3) ((6-x)/3)^(tan(pix/6))] = lim(x->3) [tan(pix/6) * ln((6-x)/3)]

Теперь мы должны рассмотреть предел правой стороны. Для этого разложим выражение tan(pi*x/6) в ряд Тейлора в точке x = 3, чтобы избавиться от неопределенности 0 * ∞:

4. Ряд Тейлора для tan(x) в окрестности точки x = 0: tan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...

5. Заменим x на (pix/6) и умножим на ln((6-x)/3): lim(x->3) [tan(pix/6) * ln((6-x)/3)] = lim(x->3) [(pi*x/6) * ln((6-x)/3)]

6. Рассмотрим отдельно первый множитель (pi*x/6) и второй множитель ln((6-x)/3).

   a) Предел первого множителя: lim(x->3) (pix/6) = (pi3/6) = pi/2

   b) Предел второго множителя: lim(x->3) ln((6-x)/3) = ln((6-3)/3) = ln(3/3) = ln(1) = 0

7. Теперь у нас есть произведение пределов: lim(x->3) [tan(pi*x/6) * ln((6-x)/3)] = (pi/2) * 0 = 0

Таким образом, исходный предел равен 0:

lim(x->3) ((6-x)/3)^(tan(pi*x/6)) = 0