Question

1. Исследовать функцию и построить график функции: y=(x^3)/(x-1) 2. Вычислить интеграл: ∫ от 0 до 2 (3x^2-1)dx

Answer 1

Решение двух заданий во вложении.

График строим по стандартной схеме исследования функции, интеграл вычисляем по правилу нахождения первообразной степенной функции.

Answer 2

1. Исследование функции y = (x^3)/(x-1):

Для начала, определим область допустимых значений функции, то есть значения x, при которых функция определена. В данном случае функция определена при любом значении x, за исключением x = 1, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Область определения функции (D): x ≠ 1.

Теперь рассмотрим поведение функции при x → ±∞:

При x → +∞: lim(x → +∞) (x^3)/(x-1) = lim(x → +∞) (x^3)/(x) = +∞. Таким образом, функция имеет вертикальную асимптоту при x = +∞.

При x → -∞: lim(x → -∞) (x^3)/(x-1) = lim(x → -∞) (x^3)/(x) = -∞. Функция также имеет вертикальную асимптоту при x = -∞.

Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

Когда y = 0: (x^3)/(x-1) = 0 x^3 = 0 x = 0. Таким образом, функция проходит через точку (0, 0).

Когда x = 0: y = (0^3)/(0-1) = 0. Функция также проходит через точку (0, 0).

Теперь рассмотрим поведение функции в окрестности x = 1:

При x → 1- (слева от 1): lim(x → 1-) (x^3)/(x-1) = -∞.

При x → 1+ (справа от 1): lim(x → 1+) (x^3)/(x-1) = +∞.

Функция имеет вертикальную асимптоту при x = 1.

Построим график функции:

2. Вычисление интеграла: ∫ от 0 до 2 (3x^2 - 1)dx

Для вычисления интеграла просто возьмем неопределенный интеграл данной функции и подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

∫(3x^2 - 1)dx = x^3 - x + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь вычислим определенный интеграл:

∫ от 0 до 2 (3x^2 - 1)dx = (2^3 - 2) - (0^3 - 0) = 8 - 2 = 6.

Итак, ∫ от 0 до 2 (3x^2 - 1)dx = 6.