Question

Найдите экстремумы функции z=2x+3y в области x≥0, y≥0, 2x+3y≤6. Желательно подробно.

Answer 1

Ловите, функция - вас просто подарок, без критических точек. Так что ограничиваемся просто поиском наиб. и наим. значения в указанной области. Подробное решение на фото. Второй чертеж необязательный, я его приведя чтобы вам лучше было видно, как это все выглядит. Удачи вам!

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции z = 2x + 3y в указанной области, мы будем использовать метод множителей Лагранжа. Этот метод позволяет находить экстремумы функции при наличии ограничений на переменные.

1. Задача оптимизации: Мы ищем максимум или минимум функции z = 2x + 3y при ограничениях x ≥ 0, y ≥ 0 и 2x + 3y ≤ 6.

2. Функция Лагранжа: Функция Лагранжа для данной задачи имеет следующий вид: L(x, y, λ) = 2x + 3y + λ(6 - 2x - 3y)

Где λ (лямбда) - множитель Лагранжа, представляющий собой множитель для ограничения 2x + 3y ≤ 6.

3. Найдем частные производные функции Лагранжа по переменным x, y и λ, и приравняем их нулю: ∂L/∂x = 2 - 2λ = 0 ∂L/∂y = 3 - 3λ = 0 ∂L/∂λ = 6 - 2x - 3y = 0

4. Решим систему уравнений: Из первых двух уравнений найдем λ: 2 - 2λ = 0 → 2λ = 2 → λ = 1 3 - 3λ = 0 → 3λ = 3 → λ = 1

Теперь, зная значение λ, подставим его в третье уравнение: 6 - 2x - 3y = 0 → 2x + 3y = 6

Теперь имеем два уравнения: 2x + 3y = 6 (ограничение) 2x + 3y = 6 (условие стационарности функции Лагранжа)

5. Найдем точки пересечения: Теперь нам нужно найти точки пересечения линий 2x + 3y = 6 (ограничение) и 2x + 3y = 6 (условие стационарности функции Лагранжа). Такие точки будут потенциальными экстремумами.

Выразим y через x из первого уравнения: 2x + 3y = 6 3y = 6 - 2x y = (6 - 2x) / 3 y = 2 - (2/3)x

Подставим это выражение для y во второе уравнение: 2x + 3(2 - (2/3)x) = 6 2x + 6 - 2x = 6 6 = 6

Обратите внимание, что уравнение 6 = 6 верно для любых x и y, что означает, что эти две линии совпадают. Это означает, что вся область x ≥ 0, y ≥ 0 и 2x + 3y ≤ 6 является областью допустимых решений.

6. Определение экстремумов: Теперь нам нужно определить, является ли точка, в которой 2x + 3y = 6, локальным максимумом, минимумом или седловой точкой. Для этого мы возьмем вторые частные производные функции Лагранжа и посчитаем их значения в этой точке.

∂²L/∂x² = -2 (отрицательное значение) ∂²L/∂y² = -3 (отрицательное значение) ∂²L/∂x∂y = 0

7. Окончательный вывод: Из значений вторых частных производных видно, что в этой точке нет локальных экстремумов. Причина в том, что в данной задаче нет ограничений на x и y, поэтому оптимальное значение функции z = 2x + 3y не достигается в одной конкретной точке, а зависит от ограничений на x и y.

Таким образом, в указанной области x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 6 не существует локальных максимумов или минимумов функции z = 2x + 3y. Значение z может быть любым в этой области, удовлетворяющим условиям ограничений.