Question

В тетраэдре ABCD известно, что AC = BD = 14, BC = AD = 13, AB = CD = 15. Найдите угол между прямыми AC и BD

Answer 1

Советую всегда вписывать тетраэдр таким образом в параллелепипед, очень помогает

Answer 2

Чтобы найти угол между прямыми AC и BD в тетраэдре ABCD, нам нужно определить угол между плоскостями, в которых лежат эти прямые.

1. Сначала найдем уравнения плоскостей, проходящих через AC и BD.
2. Затем найдем угол между нормалями (векторами нормали) к этим плоскостям.

Шаг 1: Найдем уравнения плоскостей, содержащих AC и BD.

Плоскость, проходящая через AC: Поскольку AC = 14 и BC = 13, это равнобедренный треугольник ACB. Найдем длину AB: AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(∠ACB) AB^2 = 14^2 + 13^2 - 2 * 14 * 13 * cos(∠ACB) AB^2 = 196 + 169 - 364 * cos(∠ACB) AB^2 = 365 - 364 * cos(∠ACB)

Плоскость, проходящая через BD: Поскольку BD = 14 и AD = 13, это равнобедренный треугольник ABD. Найдем длину AB (обозначим ее так же, потому что она равна предыдущей): AB^2 = BD^2 + AD^2 - 2 * BD * AD * cos(∠BAD) AB^2 = 14^2 + 13^2 - 2 * 14 * 13 * cos(∠BAD) AB^2 = 196 + 169 - 364 * cos(∠BAD) AB^2 = 365 - 364 * cos(∠BAD)

Теперь мы имеем два уравнения для AB^2, которые равны 365 - 364 * cos(∠ACB) и 365 - 364 * cos(∠BAD).

Шаг 2: Найдем угол между нормалями к этим плоскостям.

Если (A, B, C) - нормаль к плоскости, проходящей через тройку точек A, B и C, то угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

Векторное произведение нормалей к плоскости AC и BD даст направляющий вектор прямой, перпендикулярной обоим плоскостям. Таким образом, можно найти косинус угла между нормалями и затем сам угол.

Нормаль к плоскости AC: N1 = AB x AC Нормаль к плоскости BD: N2 = AB x BD

где x обозначает векторное произведение.

Теперь найдем длины векторов N1 и N2:

|N1|^2 = |AB|^2 * |AC|^2 - (AB * AC)^2 |N1|^2 = (365 - 364 * cos(∠ACB)) * 14^2 - (14 * 13)^2 |N1|^2 = 20404 - 2548 * cos(∠ACB)

|N2|^2 = |AB|^2 * |BD|^2 - (AB * BD)^2 |N2|^2 = (365 - 364 * cos(∠BAD)) * 14^2 - (14 * 13)^2 |N2|^2 = 20404 - 2548 * cos(∠BAD)

Теперь найдем косинус угла между нормалями:

cos(θ) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|) cos(θ) = (AB * AC * AB * BD) / (sqrt(|N1|^2) * sqrt(|N2|^2)) cos(θ) = (AB * AC * AB * BD) / sqrt((20404 - 2548 * cos(∠ACB)) * (20404 - 2548 * cos(∠BAD)))

Теперь мы можем найти сам угол θ:

θ = arccos(cos(θ))

Итак, угол между прямыми AC и BD равен arccos(cos(θ)), где cos(θ) вычисляется как:

cos(θ) = (AB * AC * AB * BD) / sqrt((20404 - 2548 * cos(∠ACB)) * (20404 - 2548 * cos(∠BAD)))

Точное значение угла θ можно вычислить, используя значение ∠ACB и ∠BAD.