Question

Вычислите \frac { \frac {\cos55^{\circ}} {\sin55^{\circ}} * \sin110^{\circ} - 1 } { \cos110^{\circ} } плиз хелп

Answer 1

$\frac { \frac {\cos55^{\circ}} {\sin55^{\circ}} * \sin110^{\circ} - 1 } { \cos110^{\circ} } =\frac{ctg55^{\circ}*sin110^{\circ}-1}{cos110^{\circ}}=\\\\ =\frac{2sin55^{\circ}cos55^{\circ}ctg55^{\circ}-1}{cos110^{\circ}}= \frac{2cos^{2}55^{\circ}-1}{cos110^{\circ}}=\\\\=\frac{2cos^{2}55^{\circ}-cos^{2}55^{\circ}-sin^{2}55^{\circ}}{cos110^{\circ}}=\\\\ =\frac{cos55^{2}^{\circ}-sin55^{2}^{\circ}}{cos110^{\circ}}=\frac{cos110^{\circ}}{cos110^{\circ}}=1$

Answer 2

Для вычисления данного выражения, начнем с упрощения числителя:

$\frac {\cos55^{\circ}} {\sin55^{\circ}} \cdot \sin110^{\circ} - 1$

Для начала, заметим, что $\sin110^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 110^{\circ}) = \sin70^{\circ}$, а также, что $\sin(90^{\circ} - x) = \cos x$. Поэтому:

$\sin110^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 110^{\circ}) = \cos 20^{\circ}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

$\frac {\cos55^{\circ}} {\sin55^{\circ}} \cdot \cos 20^{\circ} - 1$

Далее, воспользуемся тригонометрической формулой для $\cos (A - B)$:

$\cos (A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$

Применим ее к нашему выражению, где $A = 55^{\circ}$ и $B = 20^{\circ}$:

$\cos (55^{\circ} - 20^{\circ}) = \cos 55^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} + \sin 55^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ}$

Теперь мы видим, что у нас есть $\cos 55^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ}$ в числителе, и это хорошая новость, потому что у нас есть соответствующий знаменатель $\cos 110^{\circ}$. Таким образом, можно произвести замену в нашем исходном выражении:

$\frac {\cos55^{\circ}} {\sin55^{\circ}} \cdot \cos 20^{\circ} - 1 = \frac {\cos (55^{\circ} - 20^{\circ}) - 1} {\cos 110^{\circ}}$

Теперь у нас есть снова $\cos (55^{\circ} - 20^{\circ})$, и мы можем использовать тригонометрическую формулу для $\cos (A - B)$:

$\cos (55^{\circ} - 20^{\circ}) = \cos 55^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} + \sin 55^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ}$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac {\cos (55^{\circ} - 20^{\circ}) - 1} {\cos 110^{\circ}} = \frac {\cos 55^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} + \sin 55^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ} - 1} {\cos 110^{\circ}}$

Теперь у нас есть выражение, в котором числитель содержит произведение двух тригонометрических функций и вычитание. Мы можем продолжить упрощение, заметив, что $\cos 55^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ}$ и $\sin 55^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ}$ связаны соотношением $\cos (A - B)$:

$\cos (A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$