Question

(x^2−x+1)^4−5x^2(x^2−x+1)^2+4x^4=0.

Answer 1

Обозначим  $(x^2-x+1)^2=u$, $x^2=v$:
$u^2-5uv+4v^2=0$

Раскладываем на множители:
$u^2-5uv+4v^2=u^2-uv-4uv+4v^2=u(u-v)-4v(u-v)=(u-4v)(u-v)$

Заменяем обратно u и v и раскладываем на множители первый множитель:
$(x^2-x+1)^2-4x^2=(x^2-x+1)^2-(2x)^2=(x^2-x+1-2x)\times\\\times(x^2-x+1+2x)=(x^2-3x+1)(x^2+x+1)$

Разбираемся со вторым множителем:
$(x^2-x+1)^2-x^2=(x^2-x+1-x)(x^2-x+1+x)=\\=(x^2-2x+1)(x^2+1)=(x-1)^2(x^2+1)$

Собираем вместе:
$(x^2-3x+1)(x^2+x+1)(x-1)^2(x^2+1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Вторая и четвёртая скобка не обращается в 0 ни при каких x, третья при x = 1, первая:
$x^2-3x+1=0\\D=9-4=5\\x=\dfrac{3\pm\sqrt5}2$

Ответ: $x=1$, $x=\dfrac{3\pm\sqrt5}2$

Answer 2

(x²-x+1)⁴-5x²(x²-x+1)²+4x⁴=0
разделим обе части на x⁴≠0 (это сделать можно, потому что х=0 не является решением данного уравнения,
что можно проверить подстановкой)

получаем
[(x²-x+1)/х]⁴-5[(x²-x+1)/х]²+4=0

делаем замену
(x²-x+1)/х=у
тогда у⁴-5у²+4=0
(у²-4)(у²-1)=0
у1,2=±2
у3,4=±1

(x²-x+1)/х=у, поэтому
имеем 4 квадратных уравнения

(1) x²-x+1=2х
x²-3x+1=0
х1,2=(3±√5)/2

(2) x²-x+1=-2х
x²+x+1=0
D=1²-4•1•1= -3<0
это уравнение
действительных решений не имеет

(3) х²-х+1=х
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
x3=1

(4) х²-х+1=-х
х²+1=0
x²=-1
это уравнение
действительных решений не имеет

Ответ:
х1,2=(3±√5)/2
x3=1

Answer 3

To solve the equation $(x^2 - x + 1)^4 - 5x^2(x^2 - x + 1)^2 + 4x^4 = 0$, we can start by making a substitution to simplify the equation. Let's set $y = x^2 - x + 1$. Now, the equation becomes:

$y^4 - 5x^2y^2 + 4x^4 = 0.$

Next, let's factor the equation in terms of $y$:

$y^4 - 5x^2y^2 + 4x^4 = (y^2 - 4x^2)(y^2 - x^2) = 0.$

Now, we can solve for $y$ in each factor:

1. $y^2 - 4x^2 = 0$: $y^2 = 4x^2.$ $y = \pm 2x.$

2. $y^2 - x^2 = 0$: $y^2 = x^2.$ $y = \pm x.$

Since $y = x^2 - x + 1$, we can substitute the values of $y$ back in terms of $x$:

1. $x^2 - x + 1 = 2x$: $x^2 - 3x + 1 = 0.$ Using the quadratic formula: $x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.$

2. $x^2 - x + 1 = -2x$: $x^2 + x + 1 = 0.$ Using the quadratic formula: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}.$

Since the discriminant in the second equation is negative, it means there are no real solutions for this case. However, the two solutions for the first equation are real:

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}.$

So, the solutions to the original equation are:

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}.$