Question

Найдите область определения функции: sqrt(x^2-4x/x^2+5x-6)

Answer 1

Насколько я понял, функция:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 5x - 6}}$

Во-первых, x² + 5x - 6 ≠ 0, потому что деление на ноль не определено. У x² + 5x - 6 = 0 два корня: 1 и -6.

Во-вторых, $\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 5x - 6} \geq 0$, потому что (в данном контексте) корень из отрицательного числа не определён. Решим неравенство методом интервалов.

$\frac{x (x-4)}{(x-1)(x+6)} \geq 0$

Далее — см. вложение.

Нам нужны области, где выражение больше или равно нулю. Также нужно не забыть исключить точки, где выражение не определено, то есть 1 и -6.

Значит, ответ: $(-\infty ; -6) \cup [0;1) \cup [4; +\infty)$

Answer 2

Чтобы найти область определения функции, необходимо определить значения переменной x, при которых функция имеет смысл, т.е. не приводит к делению на ноль или извлечению комплексного корня из отрицательного числа.

Дана функция: f(x) = sqrt((x^2 - 4x) / (x^2 + 5x - 6))

1. Избегаем деления на ноль: Знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль недопустимо. Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю: x^2 + 5x - 6 = 0

   Это квадратное уравнение. Решим его с помощью факторизации: (x + 6)(x - 1) = 0

   Таким образом, x = -6 или x = 1. Эти значения не могут быть в области определения функции.

2. Избегаем извлечения комплексных корней: Из-под корня необходимо, чтобы аргумент был неотрицательным: x^2 - 4x ≥ 0

   Решим это неравенство: x(x - 4) ≥ 0

   Построим таблицу знаков:

   x	x(x - 4)
   x < 0	+ *
   0 < x < 4	- *
   x > 4	+ +

   Знак "+" означает, что выражение положительно, а знак "-" означает, что выражение отрицательно. Звездочка "*" обозначает, что значение равно нулю.

   Отсюда получаем, что x принадлежит объединению двух интервалов: (-∞, 0] и [4, +∞).

Таким образом, область определения функции f(x) = sqrt((x^2 - 4x) / (x^2 + 5x - 6)) - это множество всех действительных чисел x, кроме x = -6 и x = 1, а также кроме интервала (0, 4).