Question

Найдите наибольшее значение функции y = (x − 2)^2 (x − 4) + 5 на отрезке [1; 3].

Answer 1

перепишем так:

у = (х²-4х+4) * (х-4) + 5 = х³ - 8х² + 20х - 11 (проще брать производную...)

производная: у⁾ = 3х² - 16х + 20 = 0 (условие для нахождения экстремумов)

D = 16²-12*20 = 16(16-15) = 4²; корни: (16-4)/6 = 2 и (16+4)/6 = 10/3 = 3¹/₃

+++++++(2)----------(3¹/₃)+++++++++ это знаки производной...

там, где (+) функция возрастает, там где (-) функция убывает, т.е. максимум достигается при х=2 (это на указанном отрезке)

у(2) = 0 * (-2) + 5 = 5

можно проверить: у(1) = (-1)² * (-3) + 5 = 2... у(3) = 1² * (-1) + 5 = 4

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = (x - 2)^2 (x - 4) + 5 на отрезке [1; 3], мы должны проанализировать функцию на этом интервале и найти максимальное значение.

1. Вычислим значение функции на концах интервала:

   • Для x = 1: y = (1 - 2)^2 (1 - 4) + 5 y = (-1)^2 (-3) + 5 y = 3 + 5 y = 8

   • Для x = 3: y = (3 - 2)^2 (3 - 4) + 5 y = (1)^2 (-1) + 5 y = 1 - 1 + 5 y = 5

2. Найдем критические точки функции, где производная равна нулю: y = (x - 2)^2 (x - 4) + 5

   Для нахождения критических точек, возьмем производную функции по x и приравняем к нулю: y' = 2(x - 2)(x - 4) + (x - 2)^2 = 0

   Раскроем скобки: 2(x^2 - 6x + 8) + (x^2 - 4x + 4) = 0 2x^2 - 12x + 16 + x^2 - 4x + 4 = 0 3x^2 - 16x + 20 = 0

   Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-16)^2 - 4 * 3 * 20 = 256 - 240 = 16. Корни уравнения: x = (-(-16) ± √16) / (2 * 3) = (16 ± 4) / 6. Таким образом, x1 = 20 / 6 = 10 / 3 и x2 = 12 / 6 = 2.

3. Проверим значения функции в критических точках:

   • Для x = 10 / 3: y = (10 / 3 - 2)^2 (10 / 3 - 4) + 5 y = (4 / 3)^2 (-2 / 3) + 5 y = 16 / 9 * (-2 / 3) + 5 y = -32 / 27 + 5 y = 143 / 27 ≈ 5.2963

   • Для x = 2: y = (2 - 2)^2 (2 - 4) + 5 y = 0 * (-2) + 5 y = 5

4. Теперь сравним значения функции на концах интервала и в критических точках:

   • Значение на конце отрезка x = 1: y = 8
   • Значение в критической точке x = 10 / 3: y ≈ 5.2963
   • Значение в критической точке x = 2: y = 5
   • Значение на конце отрезка x = 3: y = 5

Наибольшее значение функции на интервале [1; 3] равно около 5.2963 и достигается при x ≈ 10 / 3.