Question

Незнайка написал три различных шестизначных числа. из каждого числа он вычел число, образованное его тремя первыми цифрами (не меняя порядка цифр) В результате Незнайка получил три одинаковые разности. Докажите, что он не умеет считать

Answer 1

Если A – число, образованное тремя первыми цифрами шестизначного числа, B – число, образованное тремя последними цифрами, то само число равно 1000A + B, а разность между самим числом и числом, образованным первыми тремя цифрами, равна 1000A + B - A = 999A + B.

По условию были даны различные числа 1000A₁ + B₁, 1000A₂ + B₂, 1000A₃ + B₃. Предположим, соответствующие им разности 999A₁ + B₁, 999A₂ + B₂, 999A₃ + B₃ равны.

999A₁ + B₁ = 999A₂ + B₂ ↔ 999(A₁ - A₂) = B₂ - B₁
Заметим, что если равны A, то из равенства последует, что равны и B, и, наоборот, из равенства B следует равенство A. При этом шестизначные числа равны, чего быть не должно. Значит, A₁ ≠ A₂, B₂ - B₁ должно делиться на 999. Поскольку B₁ и B₂ не превосходят 999, так может быть, только если |B₂ - B₁| = 999, одно из B равно 0, другое 999, при этом A отличаются на 1.

Аналогично, B₃ равно 0 или 999. Каждое из трёх B принимает одно из двух значений, по принципу Дирихле найдутся два числа, у которых B совпадают. Но тогда совпадают и A, а эти числа равны, что запрещено.

Значит, Незнайка ошибся в расчётах.

Answer 2

Допустим, три шестизначных числа, которые написал Незнайка, можно обозначить как ABCDEF, GHIJKL и MNOPQR, где каждая буква представляет одну цифру.

Тогда три числа, образованные первыми тремя цифрами из каждого числа, будут следующими:

1. ABC
2. GHI
3. MNO

Теперь, когда каждое из этих чисел вычитается из исходных, получаем следующие разности:

1. ABCDEF - ABC = DEF
2. GHIJKL - GHI = JKL
3. MNOPQR - MNO = PQR

По условию задачи, эти три разности одинаковы. Давайте обозначим эту одинаковую разность как XYZ, где X, Y и Z - какие-то цифры (это может быть трехзначное число).

Таким образом, у нас есть три равенства:

1. DEF = XYZ
2. JKL = XYZ
3. PQR = XYZ

Давайте рассмотрим цифры X, Y и Z отдельно.

X: Так как XYZ = DEF, а D, E и F - это шестизначное число, то X не может быть равным 0, иначе XYZ станет пятизначным числом, что противоречит условиям задачи.

Y: Так как XYZ = JKL, а J, K и L - это шестизначное число, то Y не может быть равным 0, иначе XYZ станет пятизначным числом, что противоречит условиям задачи.

Теперь, если X и Y не могут быть равны 0, то XYZ не может быть меньше 100. Поэтому Z не может быть равным 0, иначе XYZ станет двузначным числом, что снова противоречит условиям задачи.

Таким образом, все три цифры X, Y и Z являются ненулевыми цифрами.

Теперь давайте рассмотрим сумму трех шестизначных чисел: ABCDEF + GHIJKL + MNOPQR. В этой сумме цифры XYZ будут находиться на единице, десятках и сотнях разрядов, но не могут участвовать в других разрядах.

Теперь, если мы вычитаем ABC + GHI + MNO из этой суммы, цифры XYZ исчезнут, и останутся только другие цифры. Это приведет к тому, что оставшиеся цифры не могут образовывать одинаковую разность (XYZ) между собой. Так как это противоречит условиям задачи, то предположение о существовании таких трех шестизначных чисел неверно.

Таким образом, таких трех различных шестизначных чисел, которые соответствуют условиям задачи, не существует. Это означает, что Незнайка не мог написать такие числа, что доказывает его неумение считать.