Question

На доске написаны 6 различных шестизначных чисел. Расстроенный пятиклассник Вова вычел из каждого из этих чисел число, образованное его первыми тремя цифрами (например, 314 859 − 314 = 314 545), и полученные 6 новых чисел записал к себе в тетрадь. Какое наименьшее количество попарно различных чисел могло быть записано у Вовы в тетради?Писать сразу ответ с решением!!

Answer 1

Назовём "отнимаемым" число, образованные первыми тремя цифрами шестизначного числа.

Докажем, что более двух одинаковых чисел у Вовы не получится:

Отнимаемое число трёхзначное, следовательно, не может быть больше 999.

Если два числа стали одинаковыми после операций Вовы, изначально их отнимаемые числа, не были равны, так как в противном случае они не стали бы равны.

Число не может увеличиться от операций Вовы.

Так как отнимаемое число не больше 999, то отнимаемое от нового числа будет отличаться от отнимаемого от старого числа не более, чем на 1, следовательно больше двух одинаковых чисел получиться не может.

Значит, Вова запишет не менее трёх различных чисел. Пример чисел на доске:

100999; 101000; 101999; 102000; 102999; 103000.

100999 - 100 = 101000 - 101 = 100899

101999 - 101 = 102000 - 102 = 101898

102999 - 102 = 103000 - 103 = 102897

Ответ: 3 числа.

Answer 2

Чтобы определить наименьшее количество попарно различных чисел у Вовы в тетради, нужно проанализировать исходные шестизначные числа.

Для этого предположим, что все исходные числа имеют максимальное количество различных первых трех цифр. Таким образом, первые три цифры каждого исходного числа будут различны, а последние три могут быть одинаковыми.

Например:

• Первое число: ABCXYZ
• Второе число: DEFXYZ
• Третье число: GHIXYZ
• Четвертое число: JKLXYZ
• Пятое число: MNOXYZ
• Шестое число: PQRXYZ

После вычитания трех первых цифр из каждого числа, получим следующие новые числа:

• Первое новое число: XYZ
• Второе новое число: XYZ
• Третье новое число: XYZ
• Четвертое новое число: XYZ
• Пятое новое число: XYZ
• Шестое новое число: XYZ

В итоге у Вовы окажется всего одно число - XYZ. Он может записать только одно число в свою тетрадь.

Ответ: наименьшее количество попарно различных чисел у Вовы в тетради - 1.