Question

Натуральные числа a меньше b меньше c таковы, что 1/а+1/b+1с=1. Чему равно с?

Answer 1

заметим, что если взять наименьшие натуральные числа больше 1 (1 не подходит, т.к. тогда 1/b + 1/c = 0, что невозможно), т.е. а = 2, b = 3

то минимальное с = 6, причем это решение

докажем, что с не может равняться другому числу:

$\frac{1}{a} +\frac{1}{b} =1-\frac{1}{c} =\frac{c-1}{c}$

если привести дроби к общему знаменателю, то получим, что с = НОК(а, b), т.е. с делится и на а, и на b

c = ax = by

т.к. a и b натуральные и больше 1, a < b то

x ≤ c/2; y ≤ c/3

a = c/x; b = c/y

подставим это:

$\frac{1}{\frac{c}{x}} +\frac{1}{\frac{c}{y}} =\frac{x+y}{c} =\frac{c-1}{c} \\\\ x+y+1=c\\\\ c = x+y+1\leq \frac{c}{2} +\frac{c}{3} +1=\frac{5c+6}{6} \\\\ 6c\leq 5c+6\\\\ c\leq 6$

Значит, с = 6 единственное решение

Ответ: с = 6

Answer 2

Дано уравнение:

1/a + 1/b + 1/c = 1

Мы хотим найти значение c. Для этого приведем уравнение к общему знаменателю:

(c + b + a) / (a * b * c) = 1

Так как a, b и c - натуральные числа, и a < b < c, мы можем предположить, что a = 1. Тогда уравнение примет вид:

(1 + b + c) / (1 * b * c) = 1

Далее, умножим обе стороны на b * c:

1 + b + c = b * c

Теперь перенесем все члены, содержащие c, на одну сторону:

b * c - c = b + 1

Теперь вынесем c за скобку:

c * (b - 1) = b + 1

И, наконец, выразим c:

c = (b + 1) / (b - 1)

Таким образом, значение c равно (b + 1) / (b - 1), при условии, что a = 1 и 1 < b < c.