Question

На олимпиаде по математике каждый из 11 семиклассников решил 3 задачи. Известно, что для любых двух из них есть задача, которую один из них решил, а другой нет. Докажите, что им было предложено не менее 6 задач

Answer 1

Им было придложено больше 6 задач это можно понять по тому что каждый из семикласников решил по 3 задачи

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что каждому из 11 семиклассников было предложено меньше 6 задач. Пусть n обозначает количество задач, которые каждый из них решил. Так как каждый решил 3 задачи, то у нас есть 11 * 3 = 33 решенные задачи в общей сложности.

Теперь рассмотрим возможное наименьшее значение n, которое бы удовлетворяло условиям задачи, а именно n = 5. Предположим, каждый решает по 5 задач.

Теперь рассмотрим сумму количества задач, решенных всеми семиклассниками попарно:

Семиклассник 1 решил 5 задач, а семиклассников 2-11 у нас 10 человек. Все они решили 5 задач каждый, что дает 10 * 5 = 50 задач. Семиклассник 2 решил 5 задач, а семиклассников 3-11 у нас 9 человек. Все они решили 5 задач каждый, что дает 9 * 5 = 45 задач. ... Семиклассник 10 решил 5 задач, а семиклассник 11 решил 5 задач, что дает 1 * 5 = 5 задач.

Теперь сложим все полученные суммы: 50 + 45 + ... + 5 = 5(1 + 2 + ... + 10) = 5 * 55 = 275 задач.

Мы получили суммарно 275 задач, но из условия задачи у нас должно быть 33 решенных задачи. Это противоречие говорит нам о том, что предположение о том, что каждый решил по 5 задач, неверно.

Таким образом, нам необходимо рассмотреть следующее возможное значение n, которое удовлетворяет условиям задачи. Для этого возьмем n = 6.

Если каждому семикласснику предложить решить 6 задач, то общее количество задач составит 11 * 6 = 66.

Рассмотрим теперь снова сумму количества задач, решенных всеми семиклассниками попарно:

Семиклассник 1 решил 6 задач, а семиклассников 2-11 у нас 10 человек. Все они решили 6 задач каждый, что дает 10 * 6 = 60 задач. Семиклассник 2 решил 6 задач, а семиклассников 3-11 у нас 9 человек. Все они решили 6 задач каждый, что дает 9 * 6 = 54 задач. ... Семиклассник 10 решил 6 задач, а семиклассник 11 решил 6 задач, что дает 1 * 6 = 6 задач.

Теперь сложим все полученные суммы: 60 + 54 + ... + 6 = 6(1 + 2 + ... + 10) = 6 * 55 = 330 задач.

Таким образом, мы видим, что суммарно получили 330 задач, что превосходит требуемые 33 задачи.

Таким образом, наименьшее возможное значение n, при котором каждый из 11 семиклассников решает по n задач, составляет n = 6. И, следовательно, им было предложено не менее 6 задач.