Question

1. В одной банке 100 мл воды, другая — пустая. Половину воды перелили из первой банки во вторую. Затем из второй банки перелили половину воды в первую и т. д. На каждое переливание затрачивают 1 минуту. Через сколько минут количество воды во второй банке впервые будет отличаться от удвоенного количества воды в первой банке не более, чем на 1 см3? 2. В понедельник утром в бак закачали 1000 л воды. Какое наибольшее количество литров воды можно расходовать ежедневно, чтобы, доливая каждый вечер половину того количества воды, которое было утром, её хватило на четверг? 3. В соревновании, которое состоит из нескольких конкурсов, принимают участие две команды. За победу в одном конкурсе команда получает 5 очков, за поражение — 0 очков, за ничью — 2 очка. Соревнование закончилось со счётом 16:11. 1) Сколько конкурсов выиграл победитель? 2) Сколько было конкурсов? 4. В компании 6 учащихся. Среди любых трёх найдётся хотя бы два закадычных друга. Найдётся ли в этой компании тройка закадычных друзей? 5. В ящике лежат синие и красные шары. Некоторые из шаров имеют радиус 3 см, остальные — 5 см. Есть ли в ящике два шара разных цветов, которые различаются размерами? 6. На занятие кружка по математике пришло 11 учеников. Во время занятия каждый из них решил 3 задачи из предложенных. Известно, что для любых двух кружковцев есть задача, которую один из них решил, а другой нет. Сколько задач было предложено? 7. В одном 20-этажном доме лифт испорчен так, что на нем можно только либо подняться на 8 этажей вверх, либо опуститься на 11 этажей вниз (если вверх или вниз осталось соответственно меньше этажей, то лифт в этом направлении не движется). На какие этажи можно добраться на этом лифте с первого этажа? 8. Группа школьников весит 510 кг, при этом каждый из них весит не более 60 кг. Какое наименьшее количество вызовов нужно сделать, чтобы поднять всех школьников с 1-го этажа на 10-й этаж, если грузоподъёмность лифта не превышает 200 кг? 9. Цепочка состоит из 30 цельных колечек, каждое из которых соединено с двумя другими и наружный диаметр которых 2,2 мм, а внутренний 2 мм. Может ли эту цепочку одеть на шею человек, обхват головы которого 55 см? 10. Вдоль дороги расположены посты на различных расстояниях друг от друга. Можно ли, не зная эти расстояния, указать пост, на котором следует провести совещание старших дежурных этих постов, проехав вместе наименьшее расстояние, если постов: 1) пять; 2) шесть?

Answer 1

В задаче №7. Можно добраться на любой этаж, кроме 19.

Answer 2

1. На первом шаге количество воды в первой банке становится 50 мл, а во второй - 50 мл. На втором шаге в первой банке будет 75 мл (50 + 25), а во второй - 25 мл (50 - 25/2). На третьем шаге в первой банке будет 87.5 мл (75 + 12.5), а во второй - 12.5 мл (25 - 12.5/2). И так далее. Мы можем заметить, что на каждом шаге количество воды в первой банке увеличивается на половину того, что переливается из второй банки, а количество воды во второй банке уменьшается на половину того, что переливается в первую банку. Таким образом, если на i-м шаге количество воды во второй банке составляет V_i, то количество воды в первой банке будет равно 100 - V_i. Нам нужно найти наименьшее такое i, при котором |V_i - 2(100 - V_i)| ≤ 1. Решив это неравенство, получим i ≥ 11. Таким образом, после 11 переливаний количество воды во второй банке впервые будет отличаться от удвоенного количества воды в первой банке не более, чем на 1 см3.

2. Заметим, что количество воды в баке каждый день увеличивается в 1.5 раза (так как каждый день мы доливаем половину от того количества, которое было утром). Таким образом, за три дня количество воды увеличится в 1.5^3 = 3.375 раз. Значит, чтобы воды хватило на четверг, нужно потратить не более 1000 л / 3.375 ≈ 296 л в день. Таким образом, наибольшее количество литров воды, которое можно расходовать ежедневно, чтобы воды хватило на четверг, составляет 296 л.

3. Пусть победитель выиграл x конкурсов, тогда проигравший выиграл 16 - x конкурсов. Посчитаем, сколько очков набрал победитель: 5x (за победы) + 2(16 - x) (за ничьи) = 14x + 32. Посчитаем, сколько очков набрал проигравший: 5(16 - x) (за победы) + 2x (за ничьи) = 78 - 3x