Question

Докажите что при любом значении n 7^n-1 кратно 6; 2^4n-1 кратно 15; 15^n+6 делится 7

Answer 1

....................................................................................................

Answer 2

Для доказательства каждого из утверждений, воспользуемся методом математической индукции, который позволяет доказать верность утверждений для всех натуральных чисел n.

1. Доказательство 7^n - 1 кратно 6 для любого n:

Шаг базы (n = 1): 7^1 - 1 = 7 - 1 = 6, что кратно 6.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого k утверждение верно, т.е. 7^k - 1 кратно 6. Докажем, что тогда оно верно и для (k + 1):

7^(k+1) - 1 = 7 * 7^k - 1 = 7 * (7^k - 1) + 6.

По предположению индукции, 7^k - 1 кратно 6, значит, первое слагаемое 7 * (7^k - 1) также кратно 6. А так как 6 кратно 6, то и их сумма кратна 6. Таким образом, утверждение верно для (k + 1).

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n.

2. Доказательство 2^(4n) - 1 кратно 15 для любого n:

Шаг базы (n = 1): 2^(4*1) - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15, что кратно 15.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого k утверждение верно, т.е. 2^(4k) - 1 кратно 15. Докажем, что тогда оно верно и для (k + 1):

2^(4(k+1)) - 1 = 2^(4k + 4) - 1 = 2^(4k) * 2^4 - 1 = 16 * (2^(4k) - 1) + 15.

По предположению индукции, 2^(4k) - 1 кратно 15, значит, первое слагаемое 16 * (2^(4k) - 1) также кратно 15. А так как 15 кратно 15, то и их сумма кратна 15. Таким образом, утверждение верно для (k + 1).

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n.

3. Доказательство 15^n + 6 делится на 7 для любого n:

Шаг базы (n = 1): 15^1 + 6 = 15 + 6 = 21, что делится на 7.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого k утверждение верно, т.е. 15^k + 6 делится на 7. Докажем, что тогда оно верно и для (k + 1):

15^(k+1) + 6 = 15 * 15^k + 6 = 15 * 15^k + 7 - 1 = 15 * 15^k + 7 + 6 - 7 = 15 * 15^k + 7 + 6 = 15 * 15^k + 13.

По предположению индукции, 15^k + 6 делится на 7, значит, первое слагаемое 15 * 15^k также делится на 7. А так как 7 кратно 7, то и их сумма кратна 7. Таким образом, утверждение верно для (k + 1).

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n.

Таким образом, мы доказали все три утверждения для всех натуральных n.