Question

Тридцать пять малышей в детском саду строят из кубиков двух цветов башни высотой 5 кубиков. Докажите, что из этих башен есть хотя бы две одинаковые

Answer 1

35:5=7 башен строят малыши

Answer 2

Для того чтобы доказать, что из этих башен в детском саду есть хотя бы две одинаковые, мы воспользуемся принципом Дирихле (или принципом ящиков и шаров).

Принцип Дирихле: Если n + 1 объектов распределить по n ящикам, то хотя бы в одном ящике окажется не менее двух объектов.

В данной задаче у нас есть 35 малышей, которые строят из кубиков башни высотой 5 кубиков каждая. Кубики могут быть двух различных цветов. Рассмотрим два случая:

1. Предположим, что все башни состоят из одного цвета. В этом случае у нас будет только два варианта: либо все кубики одного цвета, либо все кубики другого цвета. Независимо от того, сколько малышей строит башни, у нас будет только два варианта башен. Однако, у нас 35 малышей, и это больше, чем два, что противоречит принципу Дирихле.

2. Теперь предположим, что есть хотя бы одна башня, состоящая из двух разных цветов кубиков. Поскольку у нас всего два цвета кубиков, а высота каждой башни составляет 5 кубиков, то у нас есть всего 2^5 = 32 различных варианта построить такую башню (поскольку каждый кубик может быть либо одного цвета, либо другого). Но у нас 35 малышей, а это больше, чем 32 варианта. Снова мы приходим к противоречию с принципом Дирихле.

Из этих двух случаев следует, что обязательно существует хотя бы одна башня, состоящая из двух разных цветов кубиков, и, следовательно, из всех башен хотя бы две окажутся одинаковыми. Таким образом, доказано, что из 35 башен в детском саду обязательно есть хотя бы две одинаковые.