Question

Найдите уравнение касательной к графику функции y=x^3-x^2+x-1 в точке, являющейся нулём этой функции.

Answer 1

(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0
x^2*(x - 1) + (x - 1) = 0
(x - 1)(x^2 + 1) = 0
x - 1 = 0
x = 1 - нуль функции = точка касания

y(1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0

y’(x) = 3x^2 - 2x + 1
y’(1) = 3 - 2 + 1 = 2

Уравнение касательной:
y = 2*(x - 1) + 0 = 2x - 2.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Найти значение производной в точке, которая является нулём функции.
3. Уравнение касательной имеет вид y - y₀ = m(x - x₀), где (x₀, y₀) - точка касания, m - значение производной в этой точке.

Шаг 1: Найдем производную функции y = x^3 - x^2 + x - 1.

dy/dx = d/dx (x^3 - x^2 + x - 1) dy/dx = 3x^2 - 2x + 1

Шаг 2: Теперь найдем значение производной в точке, которая является нулём функции. Это происходит тогда, когда y = 0.

Подставим y = 0 в уравнение функции:

0 = x^3 - x^2 + x - 1

Таким образом, у нас есть уравнение x^3 - x^2 + x - 1 = 0. Найдем его корни:

x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 1)

Корни уравнения: x = 1 и x = ±i, где i - мнимая единица.

Из условия задачи известно, что нужно найти касательную в точке, где функция имеет корень x = 1.

Шаг 3: Найдем значение производной в этой точке:

dy/dx = 3x^2 - 2x + 1

Подставим x = 1:

dy/dx = 3(1)^2 - 2(1) + 1 dy/dx = 3 - 2 + 1 dy/dx = 2

Таким образом, значение производной в точке x = 1 равно 2.

Уравнение касательной:

y - y₀ = m(x - x₀)

Теперь подставим значения: x₀ = 1, y₀ = 0 и m = 2.

y - 0 = 2(x - 1)

Упростим:

y = 2(x - 1)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^3 - x^2 + x - 1 в точке x = 1 равно y = 2(x - 1).