Question

Пусть a, b, c – натуральные числа, большие 1. Кроме того, s=a−−√+b√−c√>0 Докажите, что s>32cc√

Answer 1

Ну если а б с натуральные числа то s>32cc^

Answer 2

Для доказательства неравенства s > 32c√, начнем с предположения, что s не больше 32c√:

Предположим, что s ≤ 32c√.

Теперь давайте рассмотрим значение s более внимательно:

s = a−√ + b√ - c√.

Заметим, что в данном контексте a√ и b√ - это целые числа, так как все три числа a, b и c являются натуральными и больше 1.

Теперь рассмотрим следующее выражение:

(a√ + b√)² = a + 2√(ab) + b.

Мы знаем, что (a√ + b√)² больше или равно 0, так как квадрат числа всегда неотрицательный. Поэтому:

a + 2√(ab) + b ≥ 0.

Теперь давайте сфокусируемся на части выражения s = a−√ + b√ - c√:

s = (a√ + b√) - c√.

Мы можем переписать это выражение как:

s = (a√ + b√) - √(c²).

Теперь возьмем неравенство s ≤ 32c√ и возведем его в квадрат:

s² ≤ (32c√)².

s² ≤ 1024c².

Теперь заметим, что:

(a√ + b√)² = a + 2√(ab) + b.

Из этого следует, что:

a + 2√(ab) + b ≥ 0.

Теперь мы можем записать:

a + b ≥ -2√(ab).

Теперь давайте используем это неравенство для оценки значения s²:

s² = ((a√ + b√) - √(c²))².

s² = (a + b - 2√(ab) - √(c²))².

s² = (a + b)² + 4ab - 4√(ab)(a + b) + c².

Теперь заметим, что (a + b)² и c² больше или равны нулю:

s² ≥ 4ab - 4√(ab)(a + b).

Мы знаем, что 4√(ab)(a + b) ≥ 0, так как это квадрат неотрицательного числа.

Поэтому:

s² ≥ 4ab.

Теперь, учитывая, что s² ≤ 1024c² и s² ≥ 4ab, получаем:

4ab ≤ s² ≤ 1024c².

Теперь давайте разделим всё неравенство на 4:

ab ≤ 256c².

Из этого следует, что:

ab/c² ≤ 256.

Теперь, так как a, b и c являются натуральными числами, и они больше 1, мы можем записать:

a/c² + b/c² ≤ 256.

Используем факт, что a/c² и b/c² оба положительны (так как a, b и c положительны):

a/c² + b/c² > 0.

Теперь заметим следующее:

s = a−√ + b√ - c√ = (a/c² + b/c²)√ - 1.

Так как a/c² + b/c² больше 0, а √ - 1 < 0 (так как √ - 1 < 0 при x > 1), то s < 0.

Мы пришли к противоречию: предположение s ≤ 32c√ приводит к тому, что s < 0, но изначально было дано, что s > 0.

Следовательно, предположение s ≤ 32c√ неверно.

Таким образом, мы доказали, что s > 32c√.