Question

Чему равна величина (модуль) векторного произведения двух векторов r и R с длинами |r| = 2 и |R| = 5, если известно, что (r,R) = –10?

Answer 1

Модуль скалярного произведения равен произведению длин. Значит косинус угла между векторами равен -1. Синус равен 0. Слеловательно модуль векторного произведения равен 0.

Answer 2

Для двух векторов r и R, величина (модуль) векторного произведения обозначается как |r x R| и определяется как произведение длин векторов на синус угла между ними:

|r x R| = |r| * |R| * sin(θ)

где θ - угол между векторами r и R.

Известно, что (r, R) = -10, что обозначает скалярное произведение двух векторов.

Также, для двух векторов r и R, скалярное произведение (r, R) равно:

(r, R) = |r| * |R| * cos(θ)

Теперь, чтобы найти угол θ между векторами, можно разделить выражение для скалярного произведения на выражение для векторного произведения:

(r, R) / (|r x R|) = (|r| * |R| * cos(θ)) / (|r| * |R| * sin(θ))

-10 / (|r x R|) = cos(θ) / sin(θ)

Теперь воспользуемся тригонометрической тождеством тангенса:

tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)

-10 / (|r x R|) = tan(θ)

Теперь найдем тангенс угла θ:

tan(θ) = -10

Таким образом, теперь мы знаем тангенс угла между векторами r и R. Чтобы найти сам угол θ, можно воспользоваться обратной функцией тангенса:

θ = arctan(-10)

Поскольку угол между векторами должен быть в интервале от 0 до 180 градусов, мы можем получить отрицательное значение угла из арктангенса. Чтобы учесть это, добавим 180 градусов к результату:

θ ≈ 180° + arctan(-10)

Теперь, когда у нас есть значение угла θ, можем найти величину (модуль) векторного произведения:

|r x R| = |r| * |R| * sin(θ)

|r x R| = 2 * 5 * sin(180° + arctan(-10))

Теперь вычислим sin(180° + arctan(-10)):

sin(180° + arctan(-10)) ≈ -0.1745

Теперь вычислим |r x R|:

|r x R| ≈ 2 * 5 * (-0.1745)

|r x R| ≈ -1.745

Таким образом, величина (модуль) векторного произведения двух векторов r и R примерно равна 1.745.