Question

Докажите, что значение выражения 64 в 5 степени + 16 в 7 степени - 2 в 25 степени делится на 13

Answer 1

Да, определится. Получится 102 986 295.

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения $64^5 + 16^7 - 2^{25}$ делится на 13, мы можем воспользоваться тем, что $a^n - b^n$ делится на $a - b$, если $n$ - четное целое число.

Давайте преобразуем выражение, чтобы выделить общий множитель и применить указанное свойство.

\begin{align*} &64^5 + 16^7 - 2^{25} \\ &= 2^6 \cdot 2^{5 \cdot 5} + 2^4 \cdot 2^{7 \cdot 4} - 2^{25} \\ &= 2^6 \cdot (2^5)^5 + 2^4 \cdot (2^7)^4 - 2^{25} \\ &= 2^6 \cdot 32^5 + 2^4 \cdot 128^4 - 2^{25} \\ &= (2^6 \cdot 32^5 + 2^4 \cdot 128^4) - 2^{25} \end{align*}

Теперь обратим внимание на выражение в скобках: $2^6 \cdot 32^5 + 2^4 \cdot 128^4$.

Мы можем выделить общий множитель $2^4$ из обоих членов:

$2^6 \cdot 32^5 + 2^4 \cdot 128^4 = 2^4 \cdot (2^2 \cdot 32^5 + 128^4)$

Заметим, что $2^2 = 4$, и далее $32^5 = (2^5)^5 = 32^5$ и $128^4 = (2^7)^4 = 128^4$, таким образом:

$2^4 \cdot (2^2 \cdot 32^5 + 128^4) = 2^4 \cdot (4 \cdot 32^5 + 4 \cdot 128^4) = 2^4 \cdot 4 \cdot (32^5 + 128^4)$

Теперь, заметим, что $32 = 2^5$ и $128 = 2^7$:

2^4 \cdot 4 \cdot (32^5 + 128^4) = 2^4 \cdot 4 \cdot (2^5^5 + 2^7^4) = 2^4 \cdot 4 \cdot (2^{5 \cdot 5} + 2^{7 \cdot 4}) = 2^4 \cdot 4 \cdot (2^{25} + 2^{28})

Мы видим, что $2^{25}$ является общим множителем, поэтому можем снова вынести его за скобки:

$2^4 \cdot 4 \cdot (2^{25} + 2^{28}) = 2^4 \cdot 4 \cdot 2^{25} \cdot (1 + 2^3) = 2^4 \cdot 4 \cdot 2^{25} \cdot 9 = 2^6 \cdot 9 \cdot 2^{25}$

Теперь вернемся к исходному выражению:

\begin{align*} 64^5 + 16^7 - 2^{25} &= (2^6 \cdot 32^5 + 2^4 \cdot 128^4) - 2^{25} \\ &= 2^6 \cdot 9 \cdot 2^{25} - 2^{25} \\ &= 2^{6+25} \cdot 9 - 2^{25} \\ &= 2^{31} \cdot 9 - 2^{25} \end{align*}

Теперь мы видим, что оба члена выражения имеют общий множитель $2^{25}$, поэтому мы можем вынести его за скобку:

$2^{31} \cdot 9 - 2^{25} = 2^{25} \cdot (2^6 \cdot 9 - 1)$

Теперь обратим внимание на скобку: $2^6 \cdot 9 = 2^6 \cdot 2^3 = 2^9$.

Таким образом, получаем:

$2^{25} \cdot (2^6 \cdot 9 - 1) = 2^{25} \cdot (2^9 - 1) = 2^{25} \cdot 511$

Заметим, что $511 = 2^9 - 1$. Это число делится на 13, так как $2^9 = 512$ делится на 13, а $1$ также делится на 13.

Таким образом, мы доказали, что $64^5 + 16^7 - 2^{25}$ делится на 13.