Question

Помогите пожалуйста, задача на вероятность, сказали что в ответе должно получиться больше единицы, "Монету бросают 8 раз. Во сколько раз событие "орел выпадет ровно 6 раз" более вероятно, чем событие "орел выпадет ровно 1 раз""

Answer 1

$P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}\; \; ,\; \; C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\\\\P_8(6)=C_8^6\cdot (\frac{1}{2})^6\cdot (1-\frac{1}{2})^{8-6}=C_8^2\cdot (\frac{1}{2})^6\cdot (\frac{1}{2})^2=\frac{8\cdot 7}{2!}\cdot (\frac{1}{2})^8=\\\\=\frac{2^3\cdot 7}{2^9}=\frac{7}{2^6}=\frac{7}{64}\\\\P_8(1)=C_8^1\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2})^7=8\cdot (\frac{1}{2})^8=\frac{2^3}{2^8}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}\\\\\frac{P_8(6)}{P_6(1)}=\frac{7}{2^6}:\frac{1}{2^5}=\frac{7\cdot 2^5}{2^6}=\frac{7}{2}=3,5$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать биномиальное распределение, которое позволяет нам рассчитать вероятность определенного количества успехов в серии независимых испытаний.

Предположим, что вероятность выпадения орла в одном броске монеты равна p, а вероятность выпадения решки равна q = 1 - p.

Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз из n бросков монеты, задается следующей формулой биномиального распределения:

P(k успехов в n испытаниях) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

где C(n, k) - количество сочетаний из n по k, равное n! / (k! * (n-k)!).

Для события "орел выпадет ровно 6 раз": P(6 успехов в 8 испытаниях) = C(8, 6) * p^6 * q^2.

Для события "орел выпадет ровно 1 раз": P(1 успех в 8 испытаниях) = C(8, 1) * p^1 * q^7.

Теперь, чтобы найти во сколько раз событие "орел выпадет ровно 6 раз" более вероятно, чем событие "орел выпадет ровно 1 раз", разделим вероятности этих событий:

Отношение вероятностей = P(6 успехов в 8 испытаниях) / P(1 успех в 8 испытаниях) = (C(8, 6) * p^6 * q^2) / (C(8, 1) * p^1 * q^7).

Теперь осталось только вычислить это выражение.

Заметим, что C(8, 6) = 8! / (6! * (8-6)!) = 28, а C(8, 1) = 8! / (1! * (8-1)!) = 8.

Теперь подставим значения и упростим:

Отношение вероятностей = (28 * p^6 * q^2) / (8 * p^1 * q^7) = 28 * (p^6 / p) * (q^2 / q^7) = 28 * p^5 * q^(-5).

Теперь, чтобы узнать, во сколько раз событие "орел выпадет ровно 6 раз" более вероятно, чем событие "орел выпадет ровно 1 раз", нам нужно найти значение p (вероятность выпадения орла в одном броске). Без конкретного значения p, мы не можем точно определить это отношение.

Таким образом, для полного решения задачи необходимо знать значение вероятности выпадения орла в одном броске монеты (p). Если у вас есть это значение, то вы можете подставить его в выражение выше и рассчитать отношение вероятностей.