Question

На доске записаны 5 чисел: сначала некоторое рациональное a=n/y (n и y натуральные взаимно простые числа), затем x и далее x+2 , x+3 и x+4 . При каком наименьшем значении a произведение всех пяти чисел всегда будет натуральным для любого натурального x ? В ответе напишите целое число y .

Answer 1

Ответ:

6

Пошаговое объяснение:

При любом натуральном x числа x+2, x+3 и x+4 - это три последовательных числа, хотя бы одно из них обязательно делится на 2,  и еще хотя бы одно (может быть то же самое) делится на 3.

Поэтому произведение x(x+2)(x+3)(x+4) обязательно делится на 6.

Если a = n/y - наименьшее, то знаменатель y - наибольший.

Так как произведение n/y*x(x+2)(x+3)(x+4) должно быть натуральным при любом натуральном x, то y должен быть с одной стороны наибольшим, а с другой стороны, он должен быть делителем x(x+2)(x+3)(x+4).

y = 6.

a = 1/6.

Answer 2

Для того чтобы произведение всех пяти чисел всегда было натуральным для любого натурального x, необходимо, чтобы числа x, x+2, x+3, x+4 были кратными множителям числа y. Также, чтобы a = n/y было минимальным, числа n и y должны быть взаимно простыми и иметь наименьшее возможное значение.

Давайте проанализируем каждое из пяти чисел по отдельности:

1. Число x: Не имеет специфических условий, оно может быть любым натуральным числом.

2. Число x+2: Для того, чтобы оно было кратно y, x должен быть кратен y. Таким образом, x+2 также будет кратно y.

3. Число x+3: Также должно быть кратно y, следовательно, x+3 также кратно y.

4. Число x+4: Кратно y, если x кратно y.

Теперь рассмотрим произведение всех пяти чисел:

a * x * (x+2) * (x+3) * (x+4)

Мы хотим, чтобы произведение всегда было натуральным для любого натурального x. Это будет выполнено, если все множители являются натуральными числами. Чтобы обеспечить это условие, число a должно быть равным 1, иначе произведение не будет натуральным для всех x.

Таким образом, a = n/y = 1. Чтобы получить наименьшее значение y, n должно быть минимально, а значит, n = 1.

Таким образом, a = n/y = 1/y.

Для того чтобы a было наименьшим, y должно быть наибольшим возможным натуральным числом. Ответ: y = 1.

Итак, наименьшее значение a, при котором произведение всех пяти чисел всегда будет натуральным для любого натурального x, равно 1.