Question

В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника - 0,9, для велосипедиста - 0,8 и для бегуна - 0,75. Спортсмен, выбранный наудачу, выполнил норму. Какова вероятность того, что он - лыжник?

Answer 1

Расчет приведен на рисунке в приложении и даже в двух вариантах - десятичных дробей и обычных.

ОТВЕТ: Лыжник с вероятностью 0,669 (= 180/269)

Пояснение к таблице.

В таблице приведены все возможные расчеты на многие вопросы.

В задаче два события:

1)  - выбрать случайного спортсмена - р1 - определяем по количеству участников в группе

2) - выбрать успешного спортсмена - р2 - дано.

Вероятность события "И" - равна произведению вероятностей

Вероятность событий "ИЛИ" - равна сумме вероятностей каждого.

Из табл. вероятность, что сдадут норму все - Sp = 0.897 и не сдадут - Sq = 0.103. Проверка - сумма = 1.

И по формуле Байеса - Pi/Sp = 0.669 - и сдал и лыжник.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО - этого и следовало ожидать - их и много и результат у них хороший.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть событие A обозначает выполнение нормы, а событие B - то, что спортсмен является лыжником. Мы хотим найти вероятность P(B|A) - того, что спортсмен является лыжником при условии, что он выполнил норму.

Известные вероятности: P(A|B) - вероятность, что спортсмен выполнил норму, при условии, что он лыжник (0,9). P(A|не B) - вероятность, что спортсмен выполнил норму, при условии, что он не лыжник (для остальных двух групп) - это 0,8 для велосипедистов и 0,75 для бегунов.

Теперь, применим формулу условной вероятности:

P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)

где: P(B) - вероятность быть лыжником (произведение числа лыжников на общее количество спортсменов): P(B) = 20 / (20 + 6 + 4) = 20 / 30 = 2/3

P(A) - общая вероятность выполнить норму для всех спортсменов, независимо от их вида (взвешенное среднее вероятностей): P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|не B) * P(не B) P(A) = 0,9 * 2/3 + 0,8 * (6/30) + 0,75 * (4/30) ≈ 0,6 + 0,16 + 0,1 ≈ 0,86

Теперь можем рассчитать вероятность того, что спортсмен, который выполнил норму, является лыжником:

P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A) = 0,9 * 2/3 / 0,86 ≈ 0,6

Таким образом, вероятность того, что спортсмен, выполнивший норму, является лыжником, составляет около 0,6 или 60%.