Question

Сумма трёх целых чисел делится на 6. Доказать, что и сумма кубов этих чисел делится на 6

Answer 1

4+4+4=12

12÷6=2

4 в кубе это 64

64+64+64=192

192÷6=32

Answer 2

Давайте обозначим три целых числа как a, b и c.

Условие гласит, что сумма трех целых чисел делится на 6. Мы можем записать это как:

a + b + c ≡ 0 (mod 6)

Теперь нам нужно доказать, что сумма кубов этих чисел также делится на 6. Сумма кубов будет выглядеть так:

a^3 + b^3 + c^3

Мы знаем, что для любого целого числа n:

n^3 ≡ n (mod 6)

Это следует из того, что n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1). Таким образом, произведение трех последовательных чисел всегда делится на 6, а следовательно, n^3 делится на 6.

Теперь мы можем применить это свойство к каждому из наших чисел a, b и c:

a^3 ≡ a (mod 6) b^3 ≡ b (mod 6) c^3 ≡ c (mod 6)

Теперь сложим эти три сравнения:

a^3 + b^3 + c^3 ≡ a + b + c (mod 6)

Так как a + b + c делится на 6, то и левая сторона сравнения делится на 6:

a^3 + b^3 + c^3 ≡ 0 (mod 6)

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов этих трех чисел также делится на 6.