Question

Решить уравнение при всех значениях параметра a: ax^2+4x+a=0

Answer 1

Ax^2+4x+a=0
решаем это уравнение для всех значений параметра a.
1) при a=0
уравнение превращается в линейное
4x=0
x=0
2) для остальных a
D=4^2-4*a*a=16-4a^2=4(4-a^2)
если D=0 => уравнение имеет 2 совпадающих корня:
$4(4-a^2)=0 \\a^2=4 \\a=\pm 2 \\x=\frac{-4}{2*a}=\frac{-2}{a}$

при a=2 => x=-2/2=-1
при a=-2 => x=-2/(-2)=1
если D>0 => уравнение имеет 2 различных корня
$4(4-a^2)>0 \\4-a^2 >0 \\a^2 < 4 \\|a|$

если D<0 уравнение не имеет действительных корней
$4(4-a^2)4 \\|a|>2 \\x \in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$
Ответ:
при a=0 => x=0
при a=2 => x=-1
при a=-2 => x=1
при
$a \in (-2;0)\cup (0;2) \Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{4-a^2}}{a}$

при
$a \in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty) \Rightarrow x\in \varnothing$

Answer 2

Чтобы решить уравнение $ax^2 + 4x + a = 0$ относительно переменной $x$, нам нужно найти значения $x$, при которых уравнение выполняется для всех возможных значений параметра $a$.

Для этого воспользуемся дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В нашем уравнении $ax^2 + 4x + a = 0$ коэффициент $b = 4$, $a = a$ и $c = a$.

Теперь, чтобы уравнение имело решение для всех значений параметра $a$, дискриминант должен быть неотрицательным (т.к. это гарантирует наличие вещественных корней).

$D \geq 0$ для всех $a$:

$D = 4^2 - 4 \cdot a \cdot a = 16 - 4a^2$

Теперь неравенство $16 - 4a^2 \geq 0$ решим для $a$:

$16 - 4a^2 \geq 0$

$4a^2 \leq 16$

$a^2 \leq 4$

$a \leq 2$ и $a \geq -2$

Таким образом, уравнение $ax^2 + 4x + a = 0$ имеет решение для всех значений параметра $a$, при условии, что $a$ принадлежит отрезку $[-2, 2]$.