Question

Имеются два сосуда, в первом из них 1л. воды, второй пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый т.д, причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосуде после 2019 переливаний?

Answer 1

Просчитав несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить,

что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды.

Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером.

Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л,

то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть,

так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л).

При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается

(k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л).

Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся, что происходит на каждом переливании и как изменяется количество воды в каждом сосуде.

1. На первом переливании, из первого сосуда (1 л) половина воды (1/2 л) переливается во второй сосуд. Состояние сосудов: 1/2 л в первом сосуде, 1/2 л во втором сосуде.

2. На втором переливании, из второго сосуда (1/2 л) треть воды (1/3 л) переливается обратно в первый сосуд. Состояние сосудов: (1/2 - 1/3) л в первом сосуде, (1/2 + 1/3) л во втором сосуде.

3. На третьем переливании, из первого сосуда ((1/2 - 1/3) л) четверть воды (1/4 л) переливается во второй сосуд. Состояние сосудов: ((1/2 - 1/3) - 1/4) л в первом сосуде, ((1/2 + 1/3) + 1/4) л во втором сосуде.

4. И так далее.

Теперь обратим внимание на ряды, которые получаются:

• В первом сосуде: 1/2, (1/2 - 1/3), ((1/2 - 1/3) - 1/4), ...

• Во втором сосуде: 1/2, (1/2 + 1/3), ((1/2 + 1/3) + 1/4), ...

Мы можем заметить, что числители в обоих рядах остаются неизменными (1/2) при всех переливаниях.

Теперь, чтобы определить количество воды в каждом сосуде после 2019 переливаний, нам нужно вычислить общие суммы в каждом ряду после 2019 слагаемых.

1. Сумма ряда для первого сосуда (в первом сосуде): S1 = 1/2 + (1/2 - 1/3) + ((1/2 - 1/3) - 1/4) + ...

2. Сумма ряда для второго сосуда (во втором сосуде): S2 = 1/2 + (1/2 + 1/3) + ((1/2 + 1/3) + 1/4) + ...

К сожалению, вычисление этих сумм вручную может быть сложной задачей из-за сложной природы рядов, и я не вижу простого аналитического способа сделать это без дополнительной информации. Возможно, ошибка в постановке задачи, или нам нужны дополнительные данные для того, чтобы решить ее.

Если вы можете предоставить дополнительную информацию или проверить условие задачи, я постараюсь помочь с решением.