Question

Решите эту задачу, пожалуйста ! Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается Докажите это ввиде уравнения ,и напишите что взяли за буквы

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Вода в стаканах после нечётного количества переливания из стакана содержащего больше воды в меньший уравновешивается.

Докажем это.

1) при 1 шаге равенство очевидно из полного стакана перелили 1/2 во второй. В каждом стакане 1/2

2) После 2-го переливания вода стаканах 1/3 и 2/3

После 3-го переливания вода стаканах 1/2 и 1/2

..................................................................................................

Покажем, что после каждых двух переливаний каждый стакан будет наполнен наполовину.

Возьмём 1/n часть из 1-го стакана 1/(2n), останется 1/2-1/(2n)=(n-1)/(2n)

Перельём во 2-ой стакан, будет 1/2+1/(2n)=(n+1)/(2n)

Возьмём 1/(n+1) часть из 2-го стакана (n+1)/(2n)·1/(n+1)=1/(2n), останется (n+1)/(2n)-1/(2n)=1/2

Перельём в 1-ый стакан, будет (n-1)/(2n)+1/2n=1/2

Ч.т.д

Answer 2

Пусть V1 - объем воды в первом сосуде (изначально 1 литр), V2 - объем воды во втором сосуде (изначально 0 литров).

Тогда последовательность переливаний может быть описана следующим образом:

1. Первое переливание: половина воды из V1 переливается в V2. Теперь V1 = 1/2, V2 = 1/2.
2. Второе переливание: треть воды из V2 переливается в V1. Теперь V1 = 1/2 + 1/3, V2 = 1/2 - 1/3.
3. Третье переливание: четверть воды из V1 переливается в V2. Теперь V1 = 1/2 + 1/3 - 1/4, V2 = 1/2 - 1/3 + 1/4.

И так далее. Мы видим, что на каждом шаге количество воды в каждом из сосудов изменяется в соответствии с дробью, обратной натуральному числу (1/2, 1/3, 1/4 и так далее).

Теперь давайте обозначим количество переливаний как n. Тогда у нас есть:

V1 = 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... + (-1)^(n+1)/n V2 = 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + (-1)^n/n

Теперь мы можем записать уравнения, описывающие изменение объемов воды в сосудах после n переливаний:

V1(n) = 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... + (-1)^(n+1)/n V2(n) = 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + (-1)^n/n

Таким образом, V1(n) и V2(n) описывают объемы воды в сосудах после n переливаний.