Question

В паралелипипеде abcda1b1c1d1 точка М - середина грани abcd. Вычислить угол между прямыми b1m и cc1, если паралелипипед прямоугольный, в основании лежит квадрат, а длина бокового ребра в 2 раза больше стороны основания. 80 баллов. Нужны рисунок, подробное решение с доказательством каждого пункта действий.

Answer 1

$\vec {C_1B_1} = (1,0,0)\\\vec{C_1D_1}=(0,1,0)\\\vec{C_1C}=(0,0,2)\\\vec{B_1M}=\vec{B_1B}+\frac{1}{2}\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{DA}=(-0.5,0.5,2)\\\vec{B_1M}\times\vec{C_1C}=(-0.5,0.5,2)\times(0.0.2)=4\\\vec{B_1M}\times\vec{C_1C}=|\vec{B_1M}|*|\vec{C_1C}|*\cos \phi=\\=\sqrt{0.25+0.25+4}*2*\cos \phi\\\cos \phi=\frac{4}{2\sqrt{4.5}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\\phi = \arccos{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с построением данной ситуации. После этого мы опишем пошаговое решение задачи.

1. Построение параллелепипеда: Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 выглядит примерно так:

   A1--------------B1 /| /| / | / | / | / | A--------------B | | | | | | D1----------|---C1 | / | / | / | / |/ |/ D---------------C

2. Обозначение точек и сторон:

   • Пусть a, b и h будут сторонами основания параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
   • Пусть H будет высотой параллелепипеда (перпендикулярной основанию и идущей из точки A в плоскость B1C1D1C).
   • Пусть M - середина грани ABCD, как указано в задаче.

3. По условию задачи, параллелепипед прямоугольный, а основание - квадрат. Это значит, что a = b.

4. Поскольку длина бокового ребра в 2 раза больше стороны основания, то h = 2b.

5. Построим точку M - середину грани ABCD:

   • Соединим точки A и C, а также точки B и D прямыми линиями.
   • Проведем диагональ AC (получим перпендикулярную основанию).
   • Точка пересечения диагоналей будет серединой грани ABCD, обозначим ее как M.

6. Выразим значение стороны b через a: Поскольку основание - квадрат (a = b), и длина бокового ребра в 2 раза больше стороны основания (h = 2b), то: a = b h = 2b Отсюда можно выразить b: b = h / 2

7. Найдем угол между прямыми b1m и cc1: Поскольку параллелепипед прямоугольный, B1C1 и BC - прямые линии, параллельные основанию. Также, точка M лежит на диагонали AC квадрата ABCD, значит, она делит эту диагональ на две равные части (AM = MC). Таким образом, треугольники AMB1 и C1MC являются подобными.

8. Далее, рассмотрим треугольник AB1M:

   • AM является медианой треугольника ABC, поэтому она делит сторону BC пополам.
   • Также, AM является медианой треугольника AB1C1, поэтому она делит сторону B1C1 пополам.

9. Поскольку точка M - середина стороны B1C1, то угол B1MC1 прямой угол (90 градусов).

10. Из подобия треугольников AMB1 и C1MC следует, что угол AMB1 равен углу C1MC.

11. Таким образом, угол между прямыми b1m и cc1 равен прямому углу (90 градусов).

Итак, мы доказали, что угол между прямыми b1m и cc1 равен 90 градусов, что является ответом на задачу.