Question

Докажите, что число 133400...004669(2002 нуля) делится без остатка на 2001

Answer 1

1) Если вместо точек нарисовать любое количество нулей, то сумма цифр данного числа будет

1+3+3+4+4+6+6+9 = 36, она делится на 3, значит, данное число делится на 3.

2) Представим число в виде 1334* 100000....00 + 4669

1334 делится на 23 и на 29, 4669 также делится на 23 и на 29, значит и сумма

1334*10000...00 + 4669 делится на 23 и 29.

3) получили, что данное число делится на 3, 23 и 29, значит оно делится и на их произведение, т.е. на 2001.

Answer 2

Для доказательства того, что число 133400...004669 (с 2002 нулями) делится без остатка на 2001, воспользуемся фактом, что если число делится на 2001 и 2001 является простым числом, то это число также является числом Мерсенна.

Числа Мерсенна обозначаются как M(n) и определяются формулой M(n) = 2^n - 1, где n - простое число.

В нашем случае, у нас имеется число с 2002 нулями, что представляется в виде 133400...004669. Если мы рассмотрим данное число как M(2002), то:

M(2002) = 2^2002 - 1

Теперь нужно проверить, делится ли это число на 2001. Для этого, давайте представим число 2001 как M(p), где p - некоторое простое число. Тогда:

M(p) = 2^p - 1

Таким образом, чтобы убедиться, что M(2002) делится на M(2001), нам нужно убедиться, что 2002 делится на 2001. Рассмотрим разность между 2002 и 2001:

2002 - 2001 = 1

Мы видим, что разность равна 1, и 2002 не делится на 2001. Это говорит нам о том, что число 133400...004669 (с 2002 нулями) НЕ делится на 2001 без остатка.

Поэтому, предположение о том, что число делится без остатка на 2001, неверно.