Question

Исследовать функцию на монотонность ,найти экстремумы,построить график функции с помощью производной первого порядка. y=2-3x^2-x^3 Даю 20 баллов

Answer 1

ДАНО: Y = - x³ - 3*x² + 2

ИССЛЕДОВАТЬ.

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.  

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х1 = -2.73, x2= -1, x3 = 0.73.  

Положительна - X∈(-∞;x1)∪(x2;x3), отрицательна - X∈(x3;+∞).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 2.  

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = + ∞  limY(+∞) = -∞  

5. Исследование на чётность.Y(-x) = x³-3*x²+2 ≠ - Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная.  

6. Производная функции.Y'(x)= -3*x² -6*х = -3*x*(x-2).  

Корни при x1 = 0 и х2 = -2. Схема знаков производной.

(-∞)__(>0)__(-2)___(<0)___(0)__(>0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы.  

Максимум Ymax(0)= 2, минимум – Ymin(-2)= -2.  

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает - Х∈[-2;0], убывает = Х∈(-∞;-2]∪[0;+∞).  

8. Вторая производная - Y"(x) = -6*x - 6 = -6*(x+1)=0.  

Корень производной - точка перегиба x = -1.  

9. Выпуклая “горка» Х∈(-1;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;-1).  

10. График в приложении.

Answer 2

Спасибо за предоставление баллов! Давайте проанализируем функцию y = 2 - 3x^2 - x^3.

Шаг 1: Найдем производную функции: Для определения монотонности функции и нахождения экстремумов найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

y = 2 - 3x^2 - x^3

y' = d/dx (2 - 3x^2 - x^3) y' = -6x - 3x^2

Шаг 2: Найдем критические точки: Теперь приравняем y' к нулю и найдем значения x:

-6x - 3x^2 = 0 -3x(2 + x) = 0

Отсюда следует, что x = 0 или x = -2.

Шаг 3: Найдем значения y в критических точках: Подставим значения x в исходную функцию, чтобы получить значения y:

1. Для x = 0: y = 2 - 3(0)^2 - (0)^3 = 2

2. Для x = -2: y = 2 - 3(-2)^2 - (-2)^3 = 2 - 12 + 16 = 6

Таким образом, у нас есть две критические точки: (0, 2) и (-2, 6).

Шаг 4: Исследуем монотонность и находим экстремумы: Для определения монотонности функции и нахождения экстремумов рассмотрим знак производной на разных интервалах:

1. Когда x < -2: Подставим x = -3 в y': y' = -6(-3) - 3(-3)^2 = 18 - 27 = -9 (отрицательное значение)

2. Когда -2 < x < 0: Подставим x = -1 в y': y' = -6(-1) - 3(-1)^2 = 6 - 3 = 3 (положительное значение)

3. Когда x > 0: Подставим x = 1 в y': y' = -6(1) - 3(1)^2 = -6 - 3 = -9 (отрицательное значение)

Исходя из анализа производной, можно сделать вывод:

• На интервале (-∞, -2) функция возрастает.
• В точке x = -2 имеется локальный минимум (экстремум).
• На интервале (-2, 0) функция убывает.
• В точке x = 0 имеется локальный максимум (экстремум).
• На интервале (0, +∞) функция убывает.

Шаг 5: Построим график функции:

Для построения графика функции учтем найденные критические точки и информацию о монотонности на различных интервалах.

(Вставка графика)

На графике мы видим, что функция имеет минимум при x ≈ -2 и максимум при x ≈ 0.

Если у вас есть дополнительные вопросы или запросы, не стесняйтесь задать их!