Question

а) Докажите, что если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя представить в виде произведения двух многочленов первой степени. б) Верно ли, что если многочлен четвёртой степени не имеет корней, то его нельзя разложить на множители (т. е. представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени)?

Answer 1

А. Если было можно разложить, то приравняв множители нулю, можно было найти корни квадратного трехчлена, а их нет. Противоречие.

Б. Нет, неверно. Например, многочлен

$x^4+1$, который не имеет корней можно разложить на два множителя.

Answer 2

а) Докажем, что если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя представить в виде произведения двух многочленов первой степени.

Пусть у нас есть квадратный трёхчлен следующего вида: $ax^2 + bx + c,$ где $a$, $b$ и $c$ - некоторые числа, причем $a \neq 0$, и нам известно, что он не имеет корней.

Предположим, что он может быть представлен в виде произведения двух многочленов первой степени: $(mx + n)(px + q),$ где $m$, $n$, $p$ и $q$ - некоторые числа.

Умножим эти два многочлена: $(mx + n)(px + q) = mpx^2 + (mq + np)x + nq.$

Сравним это с исходным квадратным трёхчленом: $ax^2 + bx + c.$

Для того чтобы исходный трёхчлен и его представление в виде произведения многочленов первой степени были равны, соответствующие коэффициенты при $x^2$, $x$ и свободный член должны быть равны: $a = mp,$ $b = mq + np,$ $c = nq.$

Из условия, что трёхчлен не имеет корней, следует, что его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть отрицательным: $D = (mq + np)^2 - 4mpnq < 0.$

Предположим теперь, что $m\neq 0$ (если $m = 0$, то аналогичные рассуждения можно провести для $p\neq 0$). Тогда в выражении $D = (mq + np)^2 - 4mpnq$ все слагаемые являются квадратами чисел и, следовательно, неотрицательными. Это приводит к неравенству: $(mq + np)^2 < 4mpnq.$

Так как все слагаемые в неравенстве положительны, то возможность выполнения неравенства равносильна возможности выполнения следующего неравенства: $(mq + np)^2 = 4mpnq.$

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $(mq + np)^4 = (4mpnq)^2,$ $m^4q^4 + n^4p^4 + 2m^2n^2p^2q^2 = 16m^2p^2n^2q^2.$

Разделим обе части на $m^2n^2p^2q^2$: $\left(\frac{mq}{np} + \frac{np}{mq}\right)^2 = 16.$

Таким образом, мы получили, что выражение $\left(\frac{mq}{np} + \frac{np}{mq}\right)^2$ равно 16. Но выражение в скобках - это сумма двух квадратов, и сумма квадратов не может быть равна 16, так как сумма двух квадратов положительных чисел не может быть равна нулю. Значит, предположение о разложении квадратного трёхчлена в произведение двух многочленов первой степени неверно. Таким образом, если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя представить в виде произведения двух многочленов первой степени.

б) Нет, это утверждение неверно. Квадратный трёхчлен, не имеющий корней, не может быть разложен на множители, как было доказано в пункте (а). Однако, многочлен четвёртой степени без корней может иметь разложение на множители меньшей степени. Например, многочлен $x^4 + 1$ не имеет корней, но его можно разложить следующим образом: $x^4 + 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1).$

Таким образом, существуют многочлены четвёртой степени без корней, которые можно разложить на множители меньшей степени.