Question

Верно ли утверждение : Произведение ограниченной последовательности на бесконечную малую последовательность есть ограниченная последовательность?

Answer 1

Точная формулировка тноремы такова

Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая

И поскольку бесконечно малая имеет предел равный 0, то она ограничена.

Поэтому приведенное утверждение верно.

Answer 2

Да, утверждение верно. Если произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность, то результатом будет ограниченная последовательность.

Определение:

1. Ограниченная последовательность: Последовательность чисел считается ограниченной, если существуют такие положительные числа M и N, что каждый член последовательности по модулю не превосходит M, начиная с номера N и далее.

2. Бесконечно малая последовательность: Последовательность чисел считается бесконечно малой, если все её члены стремятся к нулю по модулю при стремлении номера члена последовательности к бесконечности.

Если у нас есть ограниченная последовательность (с ограниченными значениями) и бесконечно малая последовательность (стремящаяся к нулю), то их произведение будет ограниченной последовательностью.

Предположим, у нас есть последовательность a_n (ограниченная) и последовательность b_n (бесконечно малая). Тогда произведение a_n * b_n = c_n (новая последовательность).

Так как b_n стремится к нулю, а a_n ограничена, то их произведение c_n = a_n * b_n тоже будет стремиться к нулю. А значит, c_n также ограничена, так как её значения будут "заключены" в некотором интервале, и существуют такие числа M и N, что значения |c_n| будут не превосходить M начиная с номера N и далее.