Question

Y=x^2+5x+6 исследуйте функцию и постройте ее график

Answer 1

ДАНО:  Y = x² + 5x + 6

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения:  X∈R - непрерывная. Разрывов нет.

D(x) - X∈(-∞;+∞),  

2. Пересечение с осью Х.

Y= (x+2)*(x+3) = 0. Корни: х1 = -2, х2 = -3.

Положительна: Х∈(-∞;-3)∪(-2;+∞).   Отрицательна:Х∈(-3;-2) - между корнями.

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 6.

4. Y(-x) = x²- 5*x + 6 ≠ - Y(x) ≠ Y(x).

Функция ни парная ни непарная.

5. Поиск экстремума - первая производная.

Y'(x) = 2*x + 5 = 0.  X = - 2.5

6, Минимум: Y(-2.5) = - 0.25

Убывает: Y∈(-∞;-0.25)   Возрастает: Y∈(0.25;+∞).

Answer 2

Для исследования функции и построения ее графика нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти вершину параболы (минимум/максимум).
2. Найти ось симметрии.
3. Найти значения функции при x = 0.
4. Найти и анализировать поведение функции на бесконечности.
5. Найти и анализировать точки пересечения с осями.
6. Нарисовать график функции.

Давайте начнем с каждого шага по порядку:

1. Найти вершину параболы (минимум/максимум): Для нахождения вершины параболы с уравнением y = ax^2 + bx + c, используется формула x = -b/(2a), y = f(x). В данном случае, a = 1, b = 5, и c = 6.

x = -5 / (2 * 1) = -5 / 2 = -2.5

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x обратно в уравнение:

y = (-2.5)^2 + 5*(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = 0.75

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2.5, 0.75).

2. Найти ось симметрии: Ось симметрии параболы проходит через вершину и является вертикальной линией. В данном случае, ось симметрии имеет уравнение x = -2.5.

3. Найти значения функции при x = 0: Подставим x = 0 в уравнение функции:

y = (0)^2 + 5(0) + 6 = 6

Таким образом, значение функции при x = 0 равно 6.

4. Найти и анализировать поведение функции на бесконечности: Поскольку у функции есть только одна переменная x с наивысшей степенью 2 (x^2), она будет стремиться к бесконечности на положительной и отрицательной бесконечностях.

5. Найти и анализировать точки пересечения с осями: Чтобы найти точку пересечения с осью y (x = 0), мы уже нашли значение функции при x = 0, которое равно 6. Таким образом, у функции есть точка пересечения с осью y в точке (0, 6).

Для нахождения точек пересечения с осью x (y = 0), решим уравнение y = x^2 + 5x + 6 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решить факторизацией или используя квадратную формулу. Проведя вычисления, получим:

(x + 2)(x + 3) = 0

Отсюда x = -2 и x = -3.

Таким образом, у функции есть две точки пересечения с осью x: (-2, 0) и (-3, 0).

6. Построение графика функции:

Теперь, имея все необходимые точки и информацию, нарисуем график функции y = x^2 + 5x + 6:

(График функции)

На графике видно, что у функции есть минимум в точке (-2.5, 0.75). Ось симметрии является вертикальной линией x = -2.5. График открывается вверх, так как коэффициент при x^2 положителен. Также мы видим точки пересечения с осями x и y, которые мы нашли ранее.