Question

Исследуйте функцию по следующей схеме и постройте график. Функция: f(x)=x^2+6x-9/x+4 1. Область определения. Обозначается: D(f)= 2. Четность, нечетность. * Если f(-x)=f(x), то функция называется четной. График симметричен относительно оси ОУ. * Если f(-x)=-f(x), то функция называется нечетной. График симметричен относительно начала координат. * Если f(-x)не равно +-f(x), то функция называется ни четной, ни нечетной. 3. Точки пересечения с осями координат: а) С осью ОХ (у==0); б)с осью ОУ (х=0), 4. Промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума. f' (x)=0/ 5. Промежутки вогнутости и выпуклости. Точки перегиба. f'' (x)=0. 6. Асимптоты. а) вертикальные асимптоты; Если x=t точка разрыва функции и limf(x) = бесконечности, то x=t вертикальная асимптота. б) наклонная асимптота; y=kx+b k=lim x-> бесконечность f(x)/x b=lim х-> бесконечность (f(x)-kx) 7. Таблица 8. График 9. Область значений. Обозначается: E(f)=

Answer 1

Дано:  Y(x) = (x²+6*x-9)/(x+4)

Исследование:

Рисунок с графиком в приложении.

1. Область определения: D(y)= X≠ -4 , X∈(-∞;-4)∪(-4+∞);  Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2. Разрыв при Х = -4. Вертикальных асимптота  - Х = -4 - зелёная.

3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= -∞, Y(+∞)= +∞  -  горизонтальной асимптоты - нет.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Решаем квадратное уравнение в числителе.

x² + 6*x - 9 = 0. D= 72,  X1 = 1.24, X2 = - 7.24 - нули функции.

. 5. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-7,24)∪(-4;1,24)

Положительна: Y>0 -  X∈(-7,24;-∞)∪(1,24;+∞;)

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.

Функция ни чётная: Y(-x) ≠ Y(x), ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x)

7. Поиск экстремумов по первой производной.  

$y'(x)=\frac{2x+6}{x-4}-\frac{x^2+6x-9}{(x-4)^2}=0$

Корней нет. Экстремумов - нет.

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - X∈(-∞;-4)∪(-4+∞) - везде где существует.

9. Поиск перегибов по второй производной.

$Y"(x)=\frac{2}{x-4}-\frac{2*(2-x)}{(x-4)^2}+\frac{2*(x^2+6x-9)}{(x-4)^3}=0$

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = -4.  

10. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-4), выпуклая - "горка"  X∈(-4;+∞);

11. Наклонная асимптота.

k = lim(+∞) Y(х)/x = (x²+6*x-9)/(x² - 4*x) = 1 - разделили и числитель и знаменатель на х².

b = lim(+∞) Y(x) - x = [x²+6x-9 - (x²- 4x)]/(x-4) = (10*x- 5)/(x-4)  (??? = 2).

12. Область значений. E(y) = (-∞;+∞).

Answer 2

Давайте начнем анализ функции $f(x) = \frac{x^2 + 6x - 9}{x + 4}$ по заданной схеме:

1. Область определения (D(f)): Функция будет определена для всех значений $x$, за исключением тех, которые делают знаменатель равным нулю. Таким образом, $x + 4 \neq 0$, и следовательно, область определения будет $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$.

2. Четность, нечетность: Для определения четности или нечетности функции, проверим равенство $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$.

$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 6(-x) - 9}{-x + 4} = \frac{x^2 - 6x - 9}{-x + 4}$

$f(x) = \frac{x^2 + 6x - 9}{x + 4}$

Нам нужно определить, равны ли они друг другу или обратны друг другу.

$f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$

Следовательно, функция $f(x)$ не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат: а) С осью ОХ (y = 0): Чтобы найти точку пересечения с осью Х, решим уравнение $f(x) = 0$: $\frac{x^2 + 6x - 9}{x + 4} = 0$

Так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю: $x^2 + 6x - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2}$ $x = \frac{-6 \pm \sqrt{72}}{2}$ $x = \frac{-6 \pm 6\sqrt{2}}{2}$ $x = -3 \pm 3\sqrt{2}$

Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью ОХ: $(-3 + 3\sqrt{2})$ и $(-3 - 3\sqrt{2})$.

б) С осью ОУ (x = 0): Чтобы найти точку пересечения с осью Y, просто подставим $x = 0$ в уравнение функции: $f(0) = \frac{0^2 + 6 \cdot 0 - 9}{0 + 4} = \frac{-9}{4}$

Таким образом, у нас есть одна точка пересечения с осью ОУ: $\left(0, -\frac{9}{4}\right)$.

4. Промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума (f'(x) = 0): Для этого найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует).

$f(x) = \frac{x^2 + 6x - 9}{x + 4}$

$f'(x) = \frac{(x + 4)(2x + 6) - (x^2 + 6x - 9)(1)}{(x + 4)^2}$