Question

Исследуйте функцию F(x)= (-1/3)^3+ 4x +3 и постройте график. Функцию решать не уравнением, а через D.

Answer 1

 f(x)=-1/3x^3+4x+3Пусть x1>x2 ,тогда:(x1)^3>(x2)^3-1/3*(x1)^3<-1/3*(x2)^3-1/3*(x1)^3+x<-1/3*(x2)^3+x-1/3*(x1)^3+4x<-1/3*(x2)^3+4x-1/3*(x1)^3+4x+3<-1/3*(x2)^3+4x+3Т.к. y1<y2 ,то функция:f(x)=-1/3x^3+4x+3 - убывает на промежутек:(-∞;∞)

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \(F(x) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 + 4x + 3\). Чтобы исследовать её, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции. 2. Найти производную функции для определения экстремумов и точек перегиба. 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 4. Определить поведение функции в окрестности асимптот (если они существуют). 5. Построить график функции.

1. Область определения:

Функция \(F(x)\) определена для всех действительных значений \(x\), так что область определения - \(\mathbb{R}\).

2. Найти производную функции:

\[ F'(x) = 0 + 4 \]

Производная равна постоянной, и она всегда положительна. Это значит, что функция \(F(x)\) возрастает на всей области определения.

3. Найти точки пересечения с осями координат:

Для найти точку пересечения с осью \(y\) (\(x = 0\)), подставим \(x = 0\) в уравнение:

\[ F(0) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 + 0 + 3 = -\frac{1}{27} + 3 \]

Точка пересечения с осью \(y\) равна \(\frac{26}{27}\).

Точка пересечения с осью \(x\) (\(y = 0\)) может быть найдена решением уравнения \(\left(-\frac{1}{3}\right)^3 + 4x + 3 = 0\). Однако, так как производная положительна, график не пересекает ось \(x\).

4. Асимптоты:

Функция не содержит рациональных или логарифмических асимптот, так как её степенной член в знаменателе не равен нулю.

5. Построение графика:

Теперь мы можем построить график функции. Однако, учитывая, что у функции нет асимптот и она возрастает на всей области определения, график будет представлять собой прямую линию, идущую вверх с наклоном \(4\).

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Определение функции
def F(x):
    return (-1/3)**3 + 4*x + 3

# Создание массива значений x
x_values = np.linspace(-10, 10, 400)
# Вычисление соответствующих значений y
y_values = F(x_values)

# Построение графика
plt.plot(x_values, y_values, label=r'$F(x) = (-1/3)^3 + 4x + 3$')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)

# Подписи осей и графика
plt.title('График функции $F(x)$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.legend()

# Отображение графика
plt.grid(True)
plt.show()

Этот график будет прямой линией, идущей вверх с наклоном \(4\), пересекающей ось \(y\) в точке \(\frac{26}{27}\).