Question

докажите что для любого натурального n справедливо равенство 1*2*3*4+2*3*4*5... n(n 1)(n 2)(n 3)=1/5n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)

Answer 1

Доказываем по методу математической индукции.

Проверяем, справедливо ли для n = 1.

1 * 2 * 3 * 4 = 24

1/5 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 24, т.е. для n = 1 равенство выполняется.

Пусть теперь равенство справедливо для n, проверим, что оно справедливо для n + 1.

1 * 2 * 3 * 4 + ... + n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) + (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) =

1/5 * n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) +  (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) =

(n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) * (1/5 * n + 1) =

1/5 * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4) * (n + 5), т.е равенство справедливо для n + 1, в значит и для всех n

Answer 2

Для доказательства данного равенства, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая Для n = 1: Левая часть равенства: 1 * 0 * (-1) * (-2) = 0 Правая часть равенства: 1/5 * 1 * 0 * (-1) * (-2) * (-3) = 0

Обе части равны 0, что подтверждает выполнение равенства для базового случая.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k, т.е.:

1 * 2 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 * 5 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) = 1/5 * k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)

Шаг 3: Доказательство для (k + 1) Теперь нам нужно доказать равенство для n = k + 1. Добавим слагаемое с n = k + 1 в обе части:

Левая часть равенства: 1 * 2 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 * 5 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) + (k + 1)k(k-1)(k-2)(k-3)

Правая часть равенства: 1/5 * k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4) * (k + 1)

Теперь давайте упростим левую часть:

1 * 2 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 * 5 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) + (k + 1)k(k-1)(k-2)(k-3) = 1 * 2 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 * 5 + ... + k(k-1)(k-2)(k-3) + k(k-1)(k-2)(k-3)(k + 1)

Теперь мы можем объединить части с общими множителями:

(1 + k)(2 + k)(3 + k)(4 + k)

Теперь давайте посмотрим на правую часть и также упростим ее:

1/5 * k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4) * (k + 1) = 1/5 * (k + 1) * k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)

Обе части равенства стали одинаковыми:

(1 + k)(2 + k)(3 + k)(4 + k) = 1/5 * (k + 1) * k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)

Таким образом, равенство верно и для n = k + 1.

Шаг 4: Заключение Из шага 1 и шага 3, следует, что равенство выполняется для всех натуральных чисел n.

Таким образом, доказано, что для любого натурального числа n справедливо равенство:

1 * 2 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 * 5 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3) = 1/5 * n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)