Question

Паша перемножил 10 различных целых чисел от 1 до 100. Какое наибольшее число нулей могло получиться в конце произведения?

Answer 1

Нулей столько, сколько имеется пар простых множителей 2 и 5.  

Двоек очень много – они присутствуют во всех четных числах.  

А пятерок меньше – они имеются только в числах, делящихся на 5.  

Таких чисел двадцать: 5, 10, 15, 20, 25, …, 95, 100.  

Но в четырех из них по две пятерки: 25 = 5 х 5, 50 = 2 х 5 х 5, 75 = 3 х 5 х 5, 100 = 2 х 2 х 5 х 5.  

Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24.  

 

Ответ: 24 нуля.

Answer 2

Это является 100! (!- факториал)
Посчитав, что в каждой 5 чисел будут нули, то получаем ответ 24 нуля

Объяснение не очень т.к. делали на Пифагоре

Answer 3

Чтобы получить наибольшее число нулей в конце произведения 10 различных целых чисел от 1 до 100, нужно умножить числа, которые содержат максимальное количество множителей 2 и 5.

Множители 2 можно найти достаточно легко, потому что четное число всегда содержит множитель 2. Числа, которые содержат максимальное количество множителей 2, будут последовательными четными числами. Таким образом, мы можем взять следующие четные числа:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

Теперь рассмотрим множители 5. Числа, которые содержат максимальное количество множителей 5, будут последовательными кратными 5. Но нам дано только 10 чисел, и не все из них кратны 5. Таким образом, мы можем взять следующие числа:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100

Заметим, что у чисел 25, 50, 75 и 100 есть два множителя 5, поскольку они являются квадратами чисел, кратных 5.

Теперь у нас есть 20 чисел: 10 четных и 10 кратных 5. Чтобы получить максимальное количество нулей, нужно выбрать 10 чисел из этих 20. Из-за ограничений нашего выбора и того, что числа должны быть различными, лучшим подходом будет взять все 10 кратных 5 и дополнить оставшимися числами из четных:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

Теперь у нас есть 10 чисел, которые при перемножении дадут максимальное количество нулей в конце произведения. Каждое из этих чисел имеет один множитель 5, и у чисел 25 и 50 есть дополнительный множитель 5 (так как это квадраты чисел, кратных 5).

Теперь посчитаем количество множителей 2 и 5 в этом произведении:

Множители 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 - каждое число дает по одному множителю 2, всего 10 множителей 2.

Множители 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 - каждое число дает по одному множителю 5, числа 25 и 50 дают дополнительные множители 5, всего 12 множителей 5.

Таким образом, в произведении этих 10 различных чисел от 1 до 100 будет 10 нулей (10 множителей 2 и 10 множителей 5), что является максимальным возможным числом нулей.