Question

Найдите все пары целых чисел (x;y), для которых: 2x²+y²=2xy+4x

Answer 1

Преобразуем выражение.

2x² + y² = 2xy + 4x.

x² - 2xy + y² = 4x - х².

(x - y)² = х(4 - х).

Так как квадрат числа всегда положительный (то есть (x - y)² ≥ 0), то х(4 - х) ≥ 0.

Решаем неравенство методом интервалов:

-х(х - 4) ≥ 0.

х(х - 4) ≤ 0.

Корни неравенства 0 и 4, решение неравенства: х ∈

[0; 4].

Подставим все целые числа из этого промежутка и найдем все целые значения у.

1) х = 0.

(0 - y)² = 0(4 - 0).

(-y)² = 0.

у = 0.

Ответ: (0; 0).

2) х = 1.

(1 - y)² = 1(4 - 1).

1 - 2у + у² = 3.

y² - 2у - 2 = 0.

D = 4 + 8 = 12 (√D = 2√3)/

у = (2 ± 2√3)/2 (у не целое число).

3) х = 2;

(2 - y)² = 2(4 - 2).

4 - 4у + y² = 4.

y² - 4у = 0.

у(у - 4) = 0.

у = 0 и у = 4.

Ответ: (2; 0) и (2; 4).

4) (4 - y)² = 4(4 - 4).

16 - 8у + y² = 0.

y² - 8у + 16 = 0.

D = 64 - 64 = 0 (один корень).

у = 8/2 = 4.

Ответ: (4; 4).

Решение задания: (0; 0), (2; 0), (2; 4) и (4; 4).

Answer 2

Для нахождения всех пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению 2x² + y² = 2xy + 4x, следует рассмотреть несколько вариантов.

1. Проверим простейший случай: x = 0. Подставим x = 0 в уравнение: 2(0)² + y² = 2(0)y + 4(0) Упростим: y² = 0 Из этого следует, что y = 0.

Таким образом, первая пара целых чисел, удовлетворяющая уравнению, это (x, y) = (0, 0).

2. Рассмотрим случай, когда y = 0. Подставим y = 0 в уравнение: 2x² + (0)² = 2x(0) + 4x Упростим: 2x² = 4x Перенесем все в левую часть уравнения: 2x² - 4x = 0 Вынесем общий множитель: 2x(x - 2) = 0

   Здесь мы получили два варианта: a) 2x = 0: x = 0 b) x - 2 = 0: x = 2

   Поэтому, когда y = 0, пары целых чисел (x; y) будут: (0, 0) и (2, 0).

3. Рассмотрим общий случай, когда x ≠ 0 и y ≠ 0. Перенесем все в левую часть уравнения: 2x² + y² - 2xy - 4x = 0

   Для решения этого уравнения, нам нужно выразить y через x или наоборот. Но здесь нет простого способа аналитически найти все целочисленные решения. Вместо этого можно попробовать перебрать некоторые значения x и y, чтобы найти целочисленные решения уравнения.

4. Перебор значений: Попробуем некоторые значения x и y и проверим, есть ли решения.

   • Пусть x = 1: 2(1)² + y² = 2(1)y + 4(1) 2 + y² = 2y + 4 y² - 2y - 2 = 0

     Решая это квадратное уравнение, получаем два значения y: y = 1 + √3 и y = 1 - √3

     Таким образом, при x = 1, пары целых чисел (x; y) будут: (1, 1 + √3) и (1, 1 - √3).

   • Пусть x = 2: 2(2)² + y² = 2(2)y + 4(2) 8 + y² = 4y + 8 y² - 4y = 0 y(y - 4) = 0

     Здесь получаем два значения y: y = 0 и y = 4

     Таким образом, при x = 2, пары целых чисел (x; y) будут: (2, 0) и (2, 4).

Итак, все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению 2x² + y² = 2xy + 4x, это: (0, 0), (2, 0), (1, 1 + √3), (1, 1 - √3), (2, 0) и (2, 4).