Question

Найдите первую и вторую производной функции 1) y=x^2+5x+8 2)f(x)=2^x+x^2 3)f(x)=(x+1)(3x^2-2x+1) 4)f(x)=cos3x/x^2

Answer 1

$1) y'=(x^2+5x+8)'=2x+5; y''=(2x+5)'=2\\ 2) f'(x)=(2^x+x^2)'=ln2*2^x+2x; f''(x)=(ln2*2^x+2x)'=ln^{2}2*2^x+2\\ 3) f'(x)=((x+1)(3x^2-2x+1))'=(3x^2-2x+1+(x+1)*(6x-2))=9x^2+2x-1; f''(x)=(9x^2+2x-1)'=18x+2\\ 4) f'(x)=(\frac{cos3x}{x^2})'= (\frac{-3sin3x*x^2-2x*cos3x}{x^4})=-(\frac{3sin3x*x+2cos3x}{x^3});\\ f''(x)=(-(\frac{3sin3x*x+2cos3x}{x^3}))'=-(\frac{(9cos3x*x+3sin3x-6sin3x)*x^3-3x^2*(3sin3x*x+2cos3x)}{x^6})=\\-(\frac{9cos3x*x^4-3sin3x*x^3-9sin3x*x^3-6cos3x*x^2}{x^6})=$

$=\frac{12sin3x*x^3-9cos3x*x^4+6cos3x*x^2}{x^6}=\frac{12sin3x*x-9cos3x*x^2+6cos3x}{x^4}$

Answer 2

Для каждой из функций найдем первую и вторую производные:

1. y = x^2 + 5x + 8

Первая производная (по правилу степенной функции и линейной функции): y' = d/dx (x^2) + d/dx (5x) + d/dx (8) y' = 2x + 5

Вторая производная (по правилу степенной функции и линейной функции): y'' = d/dx (2x + 5) y'' = 2

2. f(x) = 2^x + x^2

Первая производная (по правилу степенной функции и степенной функции): f'(x) = d/dx (2^x) + d/dx (x^2) f'(x) = 2^x * ln(2) + 2x

Вторая производная (по правилу степенной функции и степенной функции): f''(x) = d/dx (2^x * ln(2) + 2x) f''(x) = 2^x * (ln(2))^2 + 2

3. f(x) = (x + 1)(3x^2 - 2x + 1)

Первая производная (по правилу произведения функций): f'(x) = (3x^2 - 2x + 1) + (x + 1)(d/dx (3x^2 - 2x + 1)) f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 + (x + 1)(6x - 2)

Упростим: f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 + 6x^2 - 2x + 6 f'(x) = 9x^2 - 4x + 7

Вторая производная (по правилу произведения функций): f''(x) = d/dx (9x^2 - 4x + 7) f''(x) = 18x - 4

4. f(x) = cos(3x)/x^2

Для нахождения первой производной применим правило частного функций: f'(x) = (x^2 * d/dx (cos(3x)) - cos(3x) * d/dx (x^2)) / (x^2)^2 f'(x) = (x^2 * (-3sin(3x)) - cos(3x) * 2x) / x^4 f'(x) = (-3x^2sin(3x) - 2xcos(3x)) / x^4 f'(x) = (-3sin(3x) - 2xcos(3x)) / x^3

Для нахождения второй производной применим правило частного функций: f''(x) = (x^3 * d/dx (-3sin(3x) - 2xcos(3x)) - (-3sin(3x) - 2xcos(3x)) * d/dx (x^3)) / x^6

Вычислим производные cos(3x) и sin(3x): d/dx (cos(3x)) = -3sin(3x) d/dx (sin(3x)) = 3cos(3x)

Подставим их в формулу для f''(x): f''(x) = (x^3 * (-3sin(3x)) - (-3sin(3x) - 2xcos(3x)) * 3x^2) / x^6 f''(x) = (-3x^3sin(3x) + 9x^2sin(3x) + 6xcos(3x)) / x^6 f''(x) = (3x^2(3sin(3x) - 2cos(3x))) / x^6 f''(x) = (9sin(3x) - 6cos(3x)) / x^4

Вот первые и вторые производные для каждой из функций.