Question

Даны функции 1, 6 f , g: R→R, f (x) = 12 − x + g(x) = −2,5x + 6. a) Найдите нули функций f и g. б) Определите интервалы, на которых f (x) ≥ 0; f (x) < 0; g(x) ≤ 0; g(x) > 0. в) Найдите координаты точки пересечения графиков функций f G и . g G г) Решите на множестве R неравенство f (x) < g(x). д) Решите на множестве R систему неравенств ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ ( ) 0. ( ) 0, g x f

Answer 1

1) х-7/2=0

х=7/2  

2) 3х-1=0

3х=1

х=1/3

3)  х-7/2 >=3x-1

   x-3x>=-1+7/2

   -2x>=-2,5

    x=<2,5/2

    x=<1,25

Answer 2

Для решения задачи, давайте последовательно выполнять каждый пункт:

а) Найдем нули функций f(x) и g(x):

1. Нули функции f(x): Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0. f(x) = 12 - x Приравняем f(x) к нулю и решим уравнение: 12 - x = 0 x = 12

2. Нули функции g(x): Нули функции - это значения x, при которых g(x) = 0. g(x) = -2.5x + 6 Приравняем g(x) к нулю и решим уравнение: -2.5x + 6 = 0 -2.5x = -6 x = -6 / -2.5 x = 2.4

Таким образом, нули функции f(x) равны x = 12, а нули функции g(x) равны x = 2.4.

б) Определим интервалы, на которых f(x) ≥ 0, f(x) < 0, g(x) ≤ 0 и g(x) > 0:

1. Интервалы, на которых f(x) ≥ 0: f(x) = 12 - x Чтобы найти интервалы, на которых f(x) ≥ 0, нужно решить неравенство 12 - x ≥ 0: 12 - x ≥ 0 x ≤ 12

Интервал: (-∞, 12]

2. Интервалы, на которых f(x) < 0: Аналогично, решим неравенство 12 - x < 0: 12 - x < 0 x > 12

Интервал: (12, +∞)

3. Интервалы, на которых g(x) ≤ 0: g(x) = -2.5x + 6 Чтобы найти интервалы, на которых g(x) ≤ 0, нужно решить неравенство -2.5x + 6 ≤ 0: -2.5x + 6 ≤ 0 -2.5x ≤ -6 x ≥ -6 / -2.5 x ≥ 2.4

Интервал: [2.4, +∞)

4. Интервалы, на которых g(x) > 0: Аналогично, решим неравенство -2.5x + 6 > 0: -2.5x + 6 > 0 -2.5x > -6 x < -6 / -2.5 x < 2.4

Интервал: (-∞, 2.4)

в) Найдем координаты точки пересечения графиков функций f(x) и g(x).

Для этого приравняем f(x) и g(x) друг к другу и решим уравнение: 12 - x = -2.5x + 6 12 + 6 = -2.5x + x 18 = -1.5x x = 18 / -1.5 x = -12

Теперь, найдем значение функции в точке пересечения: f(-12) = 12 - (-12) = 24 g(-12) = -2.5 * (-12) + 6 = 30

Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций f(x) и g(x) равны (-12, 24) и (-12, 30) соответственно.

г) Решим неравенство f(x) < g(x):

12 - x < -2.5x + 6

Давайте решим его:

12 + 6 < -2.5x + x 18 < -1.5x x < 18 / -1.5 x < -12

Ответ: x < -12

д) Решим систему неравенств:

⎧ f(x) > 0 ⎨ ⎩ g(x) ≤ 0

Из предыдущего анализа уже знаем интервалы, на которых каждая из функций положительна или неотрицательна, а также отрицательна или неотрицательна:

Интервалы, на которых f(x) > 0: (-∞, 12) Интервалы, на которых g(x) ≤ 0: [2.4, +∞)

Теперь объединим интервалы для обоих функций:

f(x) > 0 и g(x) ≤ 0: (-∞, 12) ∩ [2.4, +∞) => (2.4, 12)

Ответ: Интервал, на котором обе функции удовлетворяют системе неравенств, равен (2.4, 12).