Question

Решить дифференциальные уравнения: 2уу'-3х=0

Answer 1

Ответ: $y=\pm\sqrt{\dfrac{3x^2}{2}+C}$

Пошаговое объяснение:

Дифференциальное уравнение является уравнение с разделяющимися переменными

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x}{2y}$

Разделим переменные и затем интегрируем обе части

$\int 2ydy=\int 3xdx\\ y^2=\dfrac{3x^2}{2}+C\\ \\y=\pm\sqrt{\dfrac{3x^2}{2}+C}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения требуется использовать метод разделения переменных. Приступим к решению:

1. Начнем с записи уравнения: 2yy' - 3x = 0

2. Разделим все слагаемые, содержащие у и y', на y:

   2y' - (3x / y) = 0

3. Теперь перепишем уравнение так, чтобы все слагаемые, содержащие y и y', были на одной стороне, а все слагаемые с x на другой стороне:

   2y' = 3x / y

4. Теперь разделим обе стороны на 2 и переместим y в правую часть уравнения:

   y' = (3x / (2y))

5. Для того чтобы разделить переменные (y и x) и дифференциалы (dy и dx) на разные стороны уравнения, домножим обе стороны на dy:

   y dy = (3x / 2y) dx

6. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

   ∫y dy = ∫(3x / 2y) dx

7. Выполним интегрирование:

   (y^2) / 2 = (3x^2) / 4 + C

   Здесь C - произвольная постоянная интегрирования.

8. Чтобы найти значение постоянной C, необходимо использовать начальное условие, если оно имеется. Например, если дано начальное условие y(0) = y_0:

   (y_0^2) / 2 = (3 * 0^2) / 4 + C

   C = (y_0^2) / 2

9. Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения:

   (y^2) / 2 = (3x^2) / 4 + (y_0^2) / 2

   или можно переписать в виде:

   y^2 = (3x^2) / 2 + y_0^2

   где y_0 - это начальное условие y(0), и данное уравнение представляет собой неявное общее решение исходного дифференциального уравнения.