Question

Помогите с решением производной xy^2-y^3=4x-5.Найти первую и вторую производную игрика (y-штрих и y-2 штриха)

Answer 1

Незнаю мы ещё не проходили такое

Answer 2

Это частичная производная? (нужно искать у зависимо от х?)

если обычная производная, то смотри фото

Answer 3

Для нахождения первой и второй производных функции y(x) по переменной x, данное уравнение необходимо дважды продифференцировать по x. Для удобства обозначим y(x) как y.

Исходное уравнение: xy^2 - y^3 = 4x - 5

1. Найдем первую производную (y'): Дифференцируем обе части уравнения по x:

d/dx(xy^2 - y^3) = d/dx(4x - 5)

Для левой части уравнения применим правило произведения:

d/dx(xy^2) - d/dx(y^3) = 4

Теперь найдем производные каждого слагаемого:

d/dx(xy^2) = y^2 * d/dx(x) + x * d/dx(y^2) d/dx(y^2) = 2y * d/dx(y) = 2y * y'

d/dx(xy^2) = y^2 + 2xy * y'

d/dx(y^3) = 3y^2 * d/dx(y) = 3y^2 * y'

Теперь вернемся к исходному уравнению:

y^2 + 2xy * y' - 3y^2 * y' = 4

Теперь выразим y':

y^2 + 2xy * y' - 3y^2 * y' = 4 2xy * y' - 3y^2 * y' = 4 - y^2 y'(2xy - 3y^2) = 4 - y^2 y' = (4 - y^2) / (2xy - 3y^2)

Теперь у нас есть выражение для первой производной y'(x).

2. Найдем вторую производную (y''): Для этого продифференцируем полученное выражение для y' по переменной x:

y'' = d/dx[(4 - y^2) / (2xy - 3y^2)]

Для нахождения производной частного используем правило дифференцирования частного:

y'' = [ (2xy - 3y^2) * d/dx(4 - y^2) - (4 - y^2) * d/dx(2xy - 3y^2) ] / (2xy - 3y^2)^2

Теперь найдем производные каждого слагаемого:

d/dx(4 - y^2) = 0 - d/dx(y^2) = -2y * y' d/dx(2xy - 3y^2) = 2y * d/dx(x) - 3 * d/dx(y^2) = 2y * 1 - 3 * 2y * y' = 2y - 6y * y'

Подставим полученные значения обратно в выражение для y'':

y'' = [ (2xy - 3y^2) * (-2y * y') - (4 - y^2) * (2y - 6y * y') ] / (2xy - 3y^2)^2

Теперь у нас есть выражение для второй производной y''(x).

Таким образом, первая производная y'(x) равна: y'(x) = (4 - y^2) / (2xy - 3y^2)

А вторая производная y''(x) равна: y''(x) = [ (2xy - 3y^2) * (-2y * y') - (4 - y^2) * (2y - 6y * y') ] / (2xy - 3y^2)^2

Пожалуйста, обратите внимание, что в выражениях для y'(x) и y''(x) функция y(x) является неявной функцией от x, так как она задана не в явном виде.