Question

обчисліть об'єм тіла,утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції обмеженої лініями у=3х у=0 х=2

Answer 1

Ответ:1233

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб обчислити об'єм тіла, утвореного при обертанні криволінійної трапеції навколо осі абсцис, ми можемо скористатися методом обертання довільних криволінійних фігур навколо осей.

Задана криволінійна трапеція обмежена лініями у = 3x, у = 0 та х = 2. Для початку, давайте зобразимо цю фігуру:

Зауважте, що у = 3x та у = 0 перетинаються при х = 0 та х = 2, тобто відрізок між 0 та 2 на осі абсцис є основою трапеції.

Тепер, ми можемо записати рівняння площини, що обмежує трапецію зверху (у = 3x) та площини, що обмежує її знизу (у = 0), як функції y = f(x) та y = g(x) відповідно:

f(x) = 3x g(x) = 0

Об'єм тіла, утвореного обертанням цієї криволінійної трапеції навколо осі абсцис, можна знайти за допомогою інтеграла по змінній x за відрізком [0, 2]:

V = ∫[a, b] π * [f(x)]^2 - [g(x)]^2 dx

де a = 0 та b = 2.

Підставляючи значення f(x) та g(x), ми маємо:

V = ∫[0, 2] π * (3x)^2 - (0)^2 dx V = ∫[0, 2] π * 9x^2 dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

V = π * ∫[0, 2] 9x^2 dx

Щоб обчислити цей інтеграл, візьмемо його відповідний невизначений інтеграл:

V = π * [3x^3 / 3] | [0, 2] V = π * [(3 * 2^3) / 3 - (3 * 0^3) / 3] V = π * (24 / 3) V = 8π кубічних одиниць

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням заданої криволінійної трапеції навколо осі абсцис, дорівнює 8π кубічних одиниць.