Question

Найти область определения функции а) y=lg(-x^2+8x)+1/x-2б) у=ln(x+2)-ln(4-x)

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти область определения функции, необходимо определить значения аргумента (x), для которых функция определена и имеет смысл.

а) Функция y = lg(-x^2 + 8x) + 1/(x - 2) состоит из двух частей: логарифмической и рациональной. Давайте рассмотрим каждую из них по отдельности:

1. Логарифмическая часть: lg(-x^2 + 8x). Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому выражение -x^2 + 8x должно быть больше нуля:

-x^2 + 8x > 0

2. Рациональная часть: 1/(x - 2). Здесь нам нужно исключить значение x, которое делает знаменатель равным нулю, так как деление на ноль недопустимо:

x - 2 ≠ 0 x ≠ 2

Теперь объединим оба условия:

1. -x^2 + 8x > 0
2. x ≠ 2

Чтобы решить неравенство -x^2 + 8x > 0, можно использовать метод интервалов и знаков. Найдем точки, где выражение равно нулю, а затем проанализируем знак в каждом из интервалов, чтобы определить область определения.

-x^2 + 8x = 0

Факторизуем: -x(x - 8) = 0

Отсюда получаем две точки: x = 0 и x = 8.

Теперь посмотрим на знаки на каждом интервале:

1. Если x < 0, то -x < 0, и (x - 8) < 0 (так как оба множителя отрицательны). Произведение отрицательных чисел будет положительным, так что -x^2 + 8x > 0 при x < 0.

2. Если 0 < x < 8, то -x < 0, но (x - 8) > 0 (поскольку разность положительного и отрицательного чисел положительна). Произведение отрицательного и положительного чисел будет отрицательным, поэтому -x^2 + 8x < 0 при 0 < x < 8.

3. Если x > 8, то и -x > 0, и (x - 8) > 0 (оба множителя положительны). Произведение положительных чисел будет положительным, так что -x^2 + 8x > 0 при x > 8.

Теперь объединим все результаты:

Область определения функции а): x < 0 или x > 8, при этом x ≠ 2.

б) Функция у = ln(x + 2) - ln(4 - x) состоит из двух логарифмических частей. Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому оба аргумента логарифмов должны быть больше нуля:

1. x + 2 > 0 x > -2

2. 4 - x > 0 4 > x

Теперь объединим оба условия:

Область определения функции б): -2 < x < 4.

Итак, области определения для данных функций:

а) x < 0 или x > 8, при этом x ≠ 2. б) -2 < x < 4.