Question

Решить дифференциальные уравнения: 2ху'+3у=0

Answer 1

Ответ:

y(2x+3)=0

y=0,2x+3=0

     2x=-3

     x=-1.5

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первым шагом является его разделение и интегрирование. Давайте решим уравнение шаг за шагом:

Исходное уравнение: $2x\frac{dy}{dx} + 3y = 0$

Шаг 1: Разделение переменных Разделим уравнение на $y$ и переместим все слагаемые с $y$ на одну сторону уравнения, а все слагаемые с $x$ на другую: $\frac{dy}{y} = -\frac{3}{2x}dx$

Шаг 2: Интегрирование Проинтегрируем обе стороны уравнения: $\int \frac{dy}{y} = \int -\frac{3}{2x}dx$

Интеграл слева легко вычислить: $\ln|y| = -\frac{3}{2}\ln|x| + C$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Шаг 3: Решение для $y$ Используем свойство логарифма $\ln a - \ln b = \ln \left(\frac{a}{b}\right)$ для упрощения уравнения: $\ln|y| = \ln\left|x^{-\frac{3}{2}}\right| + C$

$\ln|y| = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right) + C$

Теперь преобразуем уравнение в экспоненциальную форму: $|y| = e^{\ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right) + C}$

Так как константа $C$ может быть любым числом, обозначим $e^C$ за новую константу $K$. Таким образом, получим:

$|y| = Ke^{\ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)}$

$|y| = Ke^{\ln\left(x^{-\frac{3}{2}}\right)}$

$|y| = Kx^{-\frac{3}{2}}$

Шаг 4: Учет абсолютной величины Вернемся к абсолютной величине и решим два случая:

Случай 1: $y > 0$ $y = Kx^{-\frac{3}{2}}$

Случай 2: $y < 0$ $y = -Kx^{-\frac{3}{2}}$

Таким образом, общим решением данного дифференциального уравнения является:

$y = Kx^{-\frac{3}{2}}$

где $K$ - произвольная постоянная.