Question

Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям dу - (2ху + 3у) dх = 0, у = при х = -1

Answer 1

Ответ: ln/y/-2*ln/x/+3/x=0.

Пошаговое объяснение:

Перепишем уравнение в виде x²*dy=y*(2*x+3)*dx. Разделив обе части на произведение x²*y, получим уравнение dy/y=(2*x+3)*dx/x², или dy/y=2*dx/x+3*dx/x². Интегрируя, находим ln/y/=2*ln/x/-3/x+C, где C - произвольная постоянная. Используя условие y(-1)=e³, приходим к уравнению 3=3+C, откуда C=0. Тогда окончательно ln/y/=2*ln/x/-3/x, или ln/y/-2*ln/x/+3/x=0.  

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

dy - (2xy + 3y) dx = 0

Это уравнение не является линейным, но мы можем попробовать найти его интегрирующий множитель. Множитель также может зависеть от переменной x и y. Давайте предположим, что он имеет вид:

μ(x, y) = e^∫(-2x - 3)dx

Интегрируя выражение в экспоненте, получим:

μ(x, y) = e^(-x^2 - 3x + C)

Теперь умножим исходное уравнение на этот интегрирующий множитель:

e^(-x^2 - 3x + C) * (dy - (2xy + 3y) dx) = 0

Теперь мы хотим найти такую функцию μ(x, y), чтобы левая сторона стала полным дифференциалом. Мы можем это сделать, предполагая, что μ(x, y) это полное дифференциальное выражение по y:

d(μ(x, y)) / dy = μ_y = -3μ

Теперь у нас есть:

-3μ = e^(-x^2 - 3x + C)

Давайте найдем частное решение для μ(x, y), используя начальное условие y = 1 при x = -1:

-3μ(-1, 1) = e^(-(-1)^2 - 3(-1) + C)

-3μ(-1, 1) = e^(1 - 3 + C)

-3μ(-1, 1) = e^(-1 + C)

Теперь подставим начальное условие:

-3μ(-1, 1) = e^(-1 + C)

Так как y(-1) = 1, мы знаем, что μ(-1, 1) = 1:

-3(1) = e^(-1 + C)

-3 = e^(-1 + C)

Теперь возьмем натуральный логарифм с обеих сторон:

ln(-3) = -1 + C

C = ln(-3) + 1

Теперь, когда мы нашли C, мы можем вернуться к нашей формуле для μ:

μ(x, y) = e^(-x^2 - 3x + ln(-3) + 1)

μ(x, y) = e^(-x^2 - 3x + ln(-3)) * e^1

μ(x, y) = -3e^(-x^2 - 3x)

Теперь, имея значение μ(x, y), мы можем умножить исходное уравнение на него:

-3e^(-x^2 - 3x) * (dy - (2xy + 3y) dx) = 0

Теперь это уравнение может быть записано как полное дифференциальное уравнение:

-3e^(-x^2 - 3x) dy + (2x * 3e^(-x^2 - 3x) - 3 * 3e^(-x^2 - 3x)) dx = 0

-3e^(-x^2 - 3x) dy + (6xe^(-x^2 - 3x) - 9e^(-x^2 - 3x)) dx = 0

Теперь мы можем найти частное решение этого уравнения, используя метод разделения переменных или другие методы решения дифференциальных уравнений.