Question

Помогите Пожалуйста,голова идет кругом. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлет­воряющие данным условиям: (xy^2+y^2)dx+(x^2-x^2y)dy=0,y=1 при x=1.

Answer 1

Это уравнение с разделяющимися переменными.
Надо записать его так:
y²(х+1)dx=-х²(1-y)dy
или
y²(х+1)dx=х²(y-1)dy
и разделить переменные:
$\frac{x+1}{ x^{2} }dx = \frac{y-1}{y ^{2} }dy$
Интегрируем
$\int\limits { \frac{x+1}{ x^{2} } \, dx = \int\limits { \frac{y-1}{y ^{2} }}} \, dy$
Упрощаем подынтегральные выражения
$\int\limits { (\fracno numeric noise key 1072{ x^no numeric noise key 1071 }+ \fracno numeric noise key 1070{ 1069 }) \, dx =\int\limits ({ 1068no numeric noise key 1067 }- 1066no numeric noise key 1065 } }}) dy \\ 1064{ x} 1063{ 1062 1061no numeric noise key 1060- 1059no numeric noise key 1058$
Находим интегралы по таблице интегралов:
$ln |x| - \frac{1}{x}=ln|y|+ \frac{1}{y}+ C$-
общее решение дифференциального уравнения

при х=1 у=1
$ln |1| - \frac{1}{1}=ln|1|+ \frac{1}{1}+ C\Rightarrow C=-2$
тогда
$ln |x| - \frac{1}{x}=ln|y|+ \frac{1}{y}-2$-
частное решение дифференциального уравнения при х=1 у=1

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить, применив метод точных дифференциальных уравнений. Для этого мы должны найти такую функцию \( \mu(x, y) \), что умножение уравнения на \( \mu(x, y) \) приведет его к виду, в котором его можно будет точно проинтегрировать. Затем мы найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

Давайте приступим к решению. Уравнение, которое нам дано, имеет вид:

\((xy^2+y^2)dx+(x^2-x^2y)dy=0\)

Для нахождения функции \( \mu(x, y) \) мы должны проверить, выполняется ли условие:

\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}\)

где \(M\) и \(N\) - коэффициенты при \(dx\) и \(dy\) соответственно.

В нашем случае: \(M = xy^2+y^2\) и \(N = x^2-x^2y\)

Вычислим частные производные:

\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = 2xy+2y\) и \(\frac{{\partial N}}{{\partial x}} = 2x-2xy\)

Теперь сравним эти две производные:

\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}\)

\(2xy+2y = 2x-2xy\)

Упростим это уравнение:

\(4xy = 2x-2y\)

Разделим обе части на 2:

\(2xy = x-y\)

Теперь мы можем найти функцию \( \mu(x, y) \), умножив это уравнение на неизвестную функцию:

\( \mu(x, y) \cdot 2xy = \mu(x, y) \cdot (x-y)\)

Давайте выберем \( \mu(x, y) = x^2y \), чтобы уравнение стало точным.

Умножим исходное уравнение на \(x^2y\):

\(x^3y^3+xy^3dx - x^3y^2dy - xy^3dy = 0\)

Теперь проинтегрируем это уравнение с учетом переменной \(y\) как константы:

\(\int x^3y^2 - xy^3 \,dx + \int xy^3 \,dy = C\)

Для первого интеграла, интегрируем по \(x\), рассматривая \(y\) как константу:

\(\frac{x^4y^2}{4} - \frac{x^2y^4}{2} + \phi(y) = C\)

Для второго интеграла, интегрируем по \(y\), рассматривая \(x\) как константу:

\(\frac{x^2y^4}{4} + \psi(x) = C\)

Где \(\phi(y)\) и \(\psi(x)\) - произвольные функции.

Теперь объединим два интеграла и упростим выражение:

\(\frac{x^4y^2}{4} - \frac{x^2y^4}{2} + \phi(y) + \frac{x^2y^4}{4} + \psi(x) = C\)

\(\frac{x^4y^2}{4} + \frac{x^2y^4}{4} + \phi(y) + \psi(x) = C\)

Теперь мы можем использовать начальное условие, чтобы найти значение константы \(C\). В нашем случае, когда \(y = 1\) при \(x = 1\):

\(\frac{1^4 \cdot 1^2}{4} + \frac{1^2 \cdot 1^4}{4} + \phi(1) + \psi(1) = C\)

\(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \phi(1) + \psi(1) = C\)

\(\frac{1}{2} + \phi(1) + \psi(1) = C\)

Таким образом, мы нашли значение константы \(C\).

Итак, общее решение исходного дифференциального уравнения будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{x^4y^2}{4} + \frac{x^2y^4}{4} + \phi(y) + \psi(x) = \frac{1}{2} + \phi(1) + \psi(1)\)

где \(\phi(y)\) и \(\psi(x)\) - произвольные функции.

Это общее решение уравнения. Если вам нужно найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию \(y = 1\) при \(x = 1\), вы можете использовать это начальное условие для определения конкретных значений функций \(\phi(1)\) и \(\psi(1)\).