Question

Помогите пожалуйста, докажите тождество 2cos^2a+sin^2a+2sin^4a=2

Answer 1

Почеркни подобные,и внизу напиши 2 все равно правильно будет

Answer 2

Давайте докажем это тождество шаг за шагом. У нас дано тождество:

$2\cos^2(a) + \sin^2(a) + 2\sin^4(a) = 2.$

Шаг 1: Заменим $\cos^2(a)$ с помощью тригонометрической тождества $\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)$:

$2(1 - \sin^2(a)) + \sin^2(a) + 2\sin^4(a) = 2.$

Шаг 2: Раскроем скобку и упростим:

$2 - 2\sin^2(a) + \sin^2(a) + 2\sin^4(a) = 2.$

Шаг 3: Объединим подобные слагаемые:

$2 + \sin^2(a) + 2\sin^4(a) = 2.$

Шаг 4: Вычтем 2 с обеих сторон уравнения:

$\sin^2(a) + 2\sin^4(a) = 0.$

Шаг 5: Вынесем общий множитель $\sin^2(a)$:

$\sin^2(a)(1 + 2\sin^2(a)) = 0.$

Теперь у нас есть произведение, которое равно нулю. Это означает, что либо первый множитель $\sin^2(a) = 0$, либо второй множитель $1 + 2\sin^2(a) = 0$.

Решим каждый случай:

Случай 1: $\sin^2(a) = 0$

Если $\sin^2(a) = 0$, то $\sin(a) = 0$ (поскольку синус квадрата угла равен квадрату синуса угла). Это верно для угла $a = 0^\circ$ и для $a = 180^\circ$, а также для всех углов, удовлетворяющих условию $\sin(a) = 0$.

Случай 2: $1 + 2\sin^2(a) = 0$

Если $1 + 2\sin^2(a) = 0$, то $\sin^2(a) = -\frac{1}{2}$. Однако это невозможно, поскольку значение $\sin^2(a)$ всегда неотрицательно. Таким образом, этот случай недопустим.

Следовательно, уравнение $\sin^2(a) + 2\sin^4(a) = 0$ выполняется только при $\sin(a) = 0$, что дает нам следующие значения угла $a$: $a = 0^\circ$ и $a = 180^\circ$.

Таким образом, тождество $2\cos^2(a) + \sin^2(a) + 2\sin^4(a) = 2$ верно для $a = 0^\circ$ и $a = 180^\circ$.