Question

.У натурального числа выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось,что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшеезначение . Помогите

Answer 1

${}$ Хорошая задача. Сначала не будем зацикливаться на минимальности, а просто найдем несколько таких чисел, стараясь, конечно, брать их все меньше и меньше. Первый претендент - это девять факториал, то есть произведение натуральных чисел от одного до девяти:

                    $9!=362880.$

Конечно, это число можно сильно уменьшить. Достаточно перемножить три двойки, две тройки, пятерку и семерку, и результат будет достигнут - среди делителей встретятся все натуральные числа от 1 до 9, даже двузначные делители не понадобятся. Получили число

                      $8\cdot 9\cdot 5\cdot 7=2520.$

Это число можно уменьшить, убрав пятерку - ведь ее можно получить как сумму цифр числа 14, полученного произведением двойки и семерки; получили

                      $8\cdot 9\cdot 7=504.$

Но и это не предел. Если взять произведение пяти двоек и двух троек, то 5 получаем как сумму цифр делителя 32, 7 - как сумму цифр числа 16:

                        $16\cdot 9=144.$

Постараемся доказать, что это уже наименьшее число.

Во-первых, тройки из множителей никак не выбросишь - это следует из признака делимости на девять - если число не делится на 9, то и сумма цифр на 9 делиться не может.

Итак, если мы хотим улучшить результат, мы должны перемножить 9 и число $N$, меньшее 16. С помощью делителей, делящихся на 3, мы, суммируя цифры, можем получить только 3, 6 и 9, остальные числа надо получать  только из делителей числа $N.$ Нет смысла брать в качестве $N$ числа, делящиеся на 3, а также простые числа (из-за скудости делителей). Остаются такие претенденты на роль $N$ -  это 4, 8, 10 и 14. Из четверки и восьмерки (ведь это степени двойки) не сделаешь нечетное число, большее 1 (скажем, 5 не сделаешь). Из 10 и 14 не сделаешь 4.

Ответ:    144  

Answer 2

Давайте разберемся, как найти наименьшее такое натуральное число.

1. Все числа от 1 до 9 должны быть представлены суммами цифр делителей. Начнем с наименьшего числа, которое удовлетворяет этому условию.

2. Число 1 должно быть представлено суммой цифр хотя бы одного делителя. Поскольку 1 является делителем любого числа, возьмем число 1 в качестве наименьшего подходящего числа.

3. Число 2 должно быть представлено суммой цифр одного из делителей. Для этого воспользуемся тем, что число 2 тоже является делителем любого четного числа. Таким образом, второе подходящее число - это 2.

4. Число 3 должно быть представлено суммой цифр одного из делителей. Наименьший натуральный делитель числа 3, отличный от 1, это само число 3. Поэтому третье подходящее число - это 3.

5. Чтобы представить число 4 суммой цифр делителя, давайте разберем все его делители:

   • 1 (уже учтено)
   • 2 (уже учтено)
   • 4 (само число 4).

   Поскольку сумма цифр числа 4 равна 4, мы удовлетворяем условию, и 4 является четвертым подходящим числом.

6. Число 5 должно быть представлено суммой цифр одного из делителей. Наименьший натуральный делитель числа 5, отличный от 1, это само число 5. Таким образом, пятое подходящее число - это 5.

7. Чтобы представить число 6 суммой цифр делителя, давайте разберем все его делители:

   • 1 (уже учтено)
   • 2 (уже учтено)
   • 3 (уже учтено)
   • 6 (само число 6).

   Поскольку сумма цифр числа 6 равна 6, мы удовлетворяем условию, и 6 является шестым подходящим числом.

8. Чтобы представить число 7 суммой цифр делителя, нужно заметить, что у числа 7 есть только два делителя - 1 и 7. Оба уже учтены, но сумма цифр числа 7 равна 7. Таким образом, 7 является седьмым подходящим числом.

9. Чтобы представить число 8 суммой цифр делителя, давайте разберем все его делители:

   • 1 (уже учтено)
   • 2 (уже учтено)
   • 4 (уже учтено)
   • 8 (само число 8).

   Поскольку сумма цифр числа 8 равна 8, мы удовлетворяем условию, и 8 является восьмым подходящим числом.

10. Чтобы представить число 9 суммой цифр делителя, давайте разберем все его делители:

    • 1 (уже учтено)
    • 3 (уже учтено)
    • 9 (само число 9).

    Поскольку сумма цифр числа 9 равна 9, мы удовлетворяем условию, и 9 является девятым и последним подходящим числом.

Таким образом, наименьшее натуральное число, для которого выполняется условие задачи, это число 9.