Question

Распишите пожалуйста решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка. y'+3y=e^(4-x)

Answer 1

Посмотрите предложенное решение; оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения линейного дифференциального уравнения 1-го порядка вида y' + p(x)y = q(x), где p(x) и q(x) - заданные функции, используется метод интегрирующего множителя. Чтобы найти интегрирующий множитель, выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение в стандартной форме: y' + 3y = e^(4-x).
2. Найдем функцию-множитель u(x), умножив обе части уравнения на нее: u(x)(y' + 3y) = u(x)e^(4-x).

Теперь найдем функцию-множитель, удовлетворяющую условию, что левая часть уравнения станет полной производной от некоторой функции F(x): u(x)(y' + 3y) = u(x)e^(4-x).

Для этого возьмем производную левой части уравнения по x и приравняем ее к производной некоторой функции F(x): u(x)(y' + 3y) = u(x)e^(4-x). u'(x)(y' + 3y) + u(x)(y'' + 3y') = -u(x)e^(4-x).

Теперь сравним коэффициенты при y' и y в полученных уравнениях: u'(x) = 0, (1) u''(x) + 3u'(x) = -e^(4-x). (2)

Из уравнения (1) следует, что u(x) = C (константа интегрирования).

Подставим u(x) = C в уравнение (2): C'' + 3C' = -e^(4-x).

Интегрируем это уравнение: C' = -∫e^(4-x)dx = -e^(4-x) + K1, где K1 - константа интегрирования.

Теперь найдем C: C = ∫(-e^(4-x) + K1)dx = -∫e^(4-x)dx + K1x + K2, где K2 - еще одна константа интегрирования.

Таким образом, интегрирующий множитель u(x) равен: u(x) = C = -e^(4-x) + K1x + K2.

Теперь мы можем найти общее решение дифференциального уравнения.

Общее решение линейного дифференциального уравнения y' + 3y = e^(4-x) имеет вид: y(x) = (1/u(x)) * ∫(u(x)q(x))dx + Ce^(-∫p(x)dx), где q(x) = e^(4-x) и p(x) = 3.

Подставим найденное значение u(x): y(x) = (1/(-e^(4-x) + K1x + K2)) * ∫(((-e^(4-x) + K1x + K2)e^(4-x)))dx + Ce^(-∫3dx), y(x) = (1/(-e^(4-x) + K1x + K2)) * ∫(-e^(4-x) + K1x + K2)dx + Ce^(-3x), y(x) = (1/(-e^(4-x) + K1x + K2)) * (-∫e^(4-x)dx + ∫K1xdx + ∫K2dx) + Ce^(-3x), y(x) = (1/(-e^(4-x) + K1x + K2)) * (-(e^(4-x)) + (K1x^2)/2 + K2x) + Ce^(-3x).

Наконец, упростим решение: y(x) = (e^(4-x) - (K1x^2)/2 - K2x) / (e^(4-x) - K1x - K2) + Ce^(-3x).

Это и есть общее решение данного линейного дифференциального уравнения. В нем присутствуют три произвольные константы: K1, K2 и C, которые могут быть определены из начальных условий, если они даны в задаче.